Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : produit scalaire · produit vectoriel

Exercices gratuits sur Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : norme et composantes, produit scalaire, produit vectoriel et moments.

Exercice gratuitFacile
xyza

Trouvez la norme |a| du vecteur a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facilenorme et composantes
  2. Moyenproduit scalaire
  3. Difficileproduit vectoriel et moments

Comment résoudre les exercices de Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

  1. Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
  2. Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
  3. Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
  4. Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Erreurs fréquentes

  • Additionner des normes au lieu de composantes.
  • Se tromper de signe sur la composante du milieu (y) d’un produit vectoriel.
  • Utiliser la position du point au lieu de r = A − O dans un moment.
  • Prendre l’arctan sans vérifier le quadrant.

Formules clés

Norme
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vecteur unitaire
û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Produit scalaire
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b
a·b/|b|
Travail
W = F·d
Produit vectoriel
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Aires
parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O
MO = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède
V = |a·(b × c)|

Apprendre Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel depuis zéro

1Ce qu’est un vecteur

Certaines grandeurs n’ont besoin que d’un nombre : une masse de 5 kg ou une température de 20 °C. Ce sont des scalaires.

D’autres grandeurs ont aussi besoin d’une direction. Une force de 40 N qui pousse vers le haut est très différente de 40 N qui pousse sur le côté. Ce sont des vecteurs.

On décrit un vecteur par ses composantes : jusqu’où il va selon x, selon y et selon z. Le vecteur a = (4, 3, 0) va de 4 unités selon x, de 3 selon y et de 0 selon z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Les forces, les déplacements et les vitesses sont tous des vecteurs. Les ingénieurs utilisent le calcul vectoriel pour additionner des forces, trouver des angles et calculer des moments en trois dimensions.

Les vecteurs s’additionnent composante par composante : (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). C’est ainsi qu’on trouve la résultante de plusieurs forces.

Auto-évaluation Quelle est la longueur du vecteur a = (3, 4, 0) ?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Réponse: 5. La longueur est √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Additionner les composantes (7) est faux car elles sont perpendiculaires, et 25 oublie la racine carrée.

2Longueur, direction et composantes

Le module |a| est la longueur du vecteur. C’est le théorème de Pythagore en trois dimensions :

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Un vecteur unitaire a une longueur 1 et pointe dans la même direction. On l’obtient en divisant chaque composante par le module :

û = a / |a|

Pour a = (0, 3, 4), le module est 5, donc û = (0, 0,6, 0,8). Vérification : 0,6² + 0,8² = 1.

Une force dans le plan xy est souvent donnée par une intensité F et un angle θ, mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe x positif. Ses composantes sont :

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Le cosinus et le sinus donnent automatiquement les signes. Une force à 120° a une composante x négative car cos 120° = −0,5.

Pour revenir des composantes à un angle, arctan(Ry/Rx) ne donne que des résultats entre −90° et 90°. Si Rx est négatif, ajoutez 180°. Si seul Ry est négatif, ajoutez 360°.

Auto-évaluation Quelle est la composante y du vecteur unitaire dans la direction de a = (0, 3, 4) ?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Réponse: 0,6. Divisez par le module 5 : 3/5 = 0,6. 3 oublie de diviser, 0,12 divise par |a|² = 25, et 0,43 divise par la somme des composantes (7).

3Le produit scalaire et le produit vectoriel

Il y a deux façons de multiplier deux vecteurs. Le produit scalaire donne un nombre. Le produit vectoriel donne un nouveau vecteur.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Ici θ est l’angle entre les deux vecteurs. Le produit scalaire mesure à quel point les vecteurs pointent dans le même sens. Il est nul quand ils sont perpendiculaires.

dFθ|F|·cos θ
  • L’angle : cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • La projection scalaire de a sur b (la partie de a le long de b) : a·b / |b|.
  • Le travail d’une force constante sur un déplacement : W = F·d.
  • Deux vecteurs sont perpendiculaires quand a·b = 0.

Le produit vectoriel a × b est un vecteur perpendiculaire à a et à b. Sa longueur est égale à l’aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Pour a = (1, 2, 0) et b = (3, 1, 0) : a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Le parallélogramme a pour aire 5 et le triangle la moitié, 2,5.

L’ordre compte : b × a = −(a × b). Le moment d’une force F appliquée au point A par rapport au point O est M = r × F, avec r = A − O.

Auto-évaluation Pour a = (2, 1, 0) et b = (1, 4, 0), quelle est la composante z de a × b ?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Réponse: 7. composante z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 est b × a (l’ordre inversé), 6 est le produit scalaire, et 9 additionne les deux produits au lieu de les soustraire.

4La méthode pas à pas

  1. Écrivez chaque vecteur en composantes. Pour une force donnée par son intensité et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
  2. Si la question donne des points, construisez les vecteurs à partir d’eux : le vecteur de A à B est B − A.
  3. Décidez de l’outil dont vous avez besoin. Longueurs et directions : module et vecteur unitaire. Angles, projections et travail : produit scalaire. Aires, vecteurs perpendiculaires et moments : produit vectoriel.
  4. Écrivez d’abord la formule, puis remplacez par les nombres une composante à la fois. Gardez les signes entre parenthèses.
  5. Vérifiez le résultat : un vecteur unitaire a une longueur 1, a × b est perpendiculaire à a (donc a·(a × b) = 0), et un angle entre vecteurs est compris entre 0° et 180°.

Pour un vecteur unitaire perpendiculaire à deux vecteurs, prenez n = a × b et divisez-le par sa longueur. Si la question veut une composante z positive et que la vôtre est négative, changez tous les signes.

Le volume du parallélépipède d’arêtes a, b et c est |a·(b × c)| : d’abord le produit vectoriel, puis le produit scalaire.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une force constante F = (6, 2, −3) N pousse un objet en ligne droite du point A(1, 0, 2) au point B(3, 4, 2). Les coordonnées sont en mètres. Trouvez le travail W fourni par la force et l’angle θ entre la force et le déplacement.

1

Construire le déplacement

Le déplacement est le vecteur de A à B : soustrayez le départ de l’arrivée.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Travailler avec le produit scalaire

Le travail est le produit scalaire de la force et du déplacement. Multipliez les composantes correspondantes et additionnez.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Les deux modules

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

L’angle

dFθ|F|·cos θ

Utilisez l’autre forme du produit scalaire, F·d = |F|·|d|·cos θ, et résolvez pour cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Vérifiez la réponse

Le travail est positif, donc l’angle doit être inférieur à 90°. C’est bien le cas.

La partie de la force le long du mouvement est |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Multipliée par la distance 4,472 m, cela redonne 20 J.

Réponse

W = 20 J et θ ≈ 50,3°.

6Erreurs fréquentes

  • Additionner les modules au lieu des composantes. Deux forces de 3 N et 4 N perpendiculaires donnent 5 N, pas 7 N.
  • Utiliser les coordonnées du point au lieu de r = A − O dans un moment.
  • Se tromper de signe pour la composante du milieu (y) d’un produit vectoriel. C’est azbx − axbz, pas l’inverse.
  • Inverser l’ordre dans un produit vectoriel. b × a pointe dans le sens opposé à a × b.
  • Prendre arctan pour une direction sans vérifier dans quel quadrant se trouve le vecteur.
  • Oublier le ½ pour l’aire d’un triangle : c’est la moitié de |AB × AC|.
Auto-évaluation Une force F = (0, 10, 0) N s’applique au point A(3, 0, 0) m. Quelle est la valeur de son moment par rapport à O(1, 0, 0) m ?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Réponse: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, donc M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Utiliser le point A lui-même comme r donne 30 N·m, A + O donne 40 N·m, et O seul donne 10 N·m.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : module et composantes. La longueur d’un vecteur, une composante d’un vecteur unitaire, une composante d’une force donnée par son intensité et un angle, ou l’intensité ou la direction de la résultante de deux forces.
  • Moyen : le produit scalaire. Un produit scalaire, l’angle entre deux vecteurs, une projection scalaire, le travail d’une force entre deux points, ou la valeur de k qui rend deux vecteurs perpendiculaires.
  • Difficile : le produit vectoriel et les moments. Une composante de a × b, l’aire d’un parallélogramme ou d’un triangle, le moment d’une force par rapport à un point, un vecteur normal unitaire, ou le volume d’un parallélépipède à partir d’un produit mixte.

Pour une question de perpendicularité, posez a·b = 0. Cela donne une équation linéaire en k.

Pour un triangle de sommets A, B et C, utilisez les vecteurs d’arêtes AB = B − A et AC = C − A. L’aire est ½·|AB × AC|.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xy135°F1​F2​

Deux forces agissent en un point du plan xy : F₁ = 110 N à 0° et F₂ = 190 N à 135°, toutes deux mesurées dans le sens anti-horaire depuis l’axe x positif. Trouvez la direction φ de leur résultante, mesurée dans le sens anti-horaire depuis l’axe x positif (entre 0° et 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Calculer φ (°)

Afficher les indices
  1. Décomposez chaque force en composantes selon x et selon y.
  2. Additionnez séparément les composantes selon x et les composantes selon y.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Composantes de la résultante

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Direction

Rₓ est négatif, donc la résultante pointe vers le deuxième ou le troisième quadrant : ajoutez 180° à l’angle donné par la calculatrice.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Réponse

φ = 100,3°
Exemple 2Moyen
xyzab

Trouvez la valeur de k pour laquelle les vecteurs a = (−4, −4, 0) et b = (k, 6, 4) sont perpendiculaires.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Calculer k

Afficher les indices
  1. Des vecteurs perpendiculaires ont un produit scalaire nul.
  2. Écrivez a·b = 0 avec k comme inconnue et résolvez l’équation linéaire.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire égal à zéro

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Résoudre pour k

k = −(−24)/(−4) = −6

Réponse

k = −6
Exemple 3Difficile
xyzABC

Trouvez l’aire A du triangle de sommets A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) et C(1, 4, −4). Les coordonnées sont en mètres.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Calculer A (m²)

Afficher les indices
  1. Formez deux vecteurs d’arête à partir du même sommet : AB = B − A et AC = C − A.
  2. L’aire est ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vecteurs d’arête

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Produit vectoriel

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Aire du triangle

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Réponse

A = 18,99 m²

Questions et réponses

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel : de quoi s’agit-il ?

Certaines grandeurs n’ont besoin que d’un nombre : une masse de 5 kg ou une température de 20 °C. Ce sont des scalaires.

D’autres grandeurs ont aussi besoin d’une direction. Une force de 40 N qui pousse vers le haut est très différente de 40 N qui pousse sur le côté. Ce sont des vecteurs.

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
  2. Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
  3. Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
  4. Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.
Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Additionner des normes au lieu de composantes.
  • Se tromper de signe sur la composante du milieu (y) d’un produit vectoriel.
  • Utiliser la position du point au lieu de r = A − O dans un moment.
  • Prendre l’arctan sans vérifier le quadrant.
Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel : que couvrent les exercices ?
  • Facile: norme et composantes
  • Moyen: produit scalaire
  • Difficile: produit vectoriel et moments

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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