Régression linéaire et corrélation : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : droite des moindres carrés · coefficient de corrélation · ajustement affine

Exercices gratuits sur Régression linéaire et corrélation avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : pente et ordonnée à l’origine, coefficient de corrélation, prédiction.

Exercice gratuitFacile
xy242352445555660760xy2465060

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Trouvez l’ordonnée à l’origine a.

n = 6
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Ce que vous travaillez

  1. Facilepente et ordonnée à l’origine
  2. Moyencoefficient de corrélation
  3. Difficileprédiction

Formules clés

Sommes des carrés
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente
b = Sxy/Sxx
Ordonnée à l’origine
a = ȳ − b·x̄
Corrélation
r = Sxy/√(SxxSyy)
Résidu
e = y − ŷ

Apprendre Régression linéaire et corrélation depuis zéro

Avant cela : Statistique descriptive

1Ce qu’est une régression

Vous mesurez deux grandeurs pour chaque cas, par exemple x = heures d’étude et y = note d’examen. Chaque paire est un point d’un nuage de points.

xy123456246810

Si les points sont à peu près alignés le long d’une droite, vous pouvez les décrire avec une droite et l’utiliser pour prédire y à partir de x. C’est la régression linéaire.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (« y chapeau ») est la valeur prédite de y.
  • b est la pente : de combien ŷ change quand x augmente de 1.
  • a est l’ordonnée à l’origine : la valeur de ŷ en x = 0.
Auto-évaluation Une droite de régression est ŷ = 40 + 5x, avec x en heures d’étude et ŷ la note prédite. Que signifie le 5 ?
  1. Chaque heure supplémentaire ajoute environ 5 points
  2. La droite passe par (5, 40)
  3. La note est 5 fois le nombre d’heures
  4. Un étudiant qui ne travaille pas obtient 5

Réponse: Chaque heure supplémentaire ajoute environ 5 points. La pente b est la variation de ŷ par unité de x. La note prédite en x = 0 est l’ordonnée à l’origine a = 40, pas 5.

2La droite des moindres carrés

Aucune droite ne passe par tous les points. La distance verticale d’un point à la droite est son résidu, e = y − ŷ.

La droite des moindres carrés est la droite qui a la plus petite somme possible de carrés des résidus. Sa pente et son ordonnée à l’origine découlent des sommes d’écarts à la moyenne :

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

La droite passe toujours par le point moyen (x̄, ȳ). C’est pourquoi a = ȳ − b · x̄.

Si seules les sommes sont données, utilisez les raccourcis Sxx = Σx² − (Σx)²/n et Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Auto-évaluation Pour un jeu de données, x̄ = 4, ȳ = 10 et b = 2. Que vaut l’ordonnée à l’origine a ?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Réponse: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Additionner au lieu de soustraire donne 18, et 10 est ȳ lui-même, ce qui oublie la pente.

3Le coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation de Pearson r mesure à quel point les points sont proches d’une droite. Il est toujours compris entre −1 et 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r proche de 1 : une forte tendance à la hausse.
  • r proche de −1 : une forte tendance à la baisse, comme le prix d’une voiture en fonction de son âge.
  • r proche de 0 : aucune relation linéaire.

r a le même signe que la pente b. Son carré r² est la fraction de la variation de y que la droite explique.

Une forte corrélation ne prouve pas que x cause y. Les deux peuvent dépendre d’une troisième grandeur.

Auto-évaluation Pour l’âge x d’une voiture et son prix y, r = −0,95. Qu’est-ce que cela vous dit ?
  1. Le calcul est faux, car r est négatif
  2. Les voitures plus vieilles coûtent plus cher
  3. Une forte relation linéaire décroissante
  4. Une relation faible

Réponse: Une forte relation linéaire décroissante. r proche de −1 signifie que les points sont proches d’une droite décroissante : le prix baisse quand l’âge augmente. Un r négatif est parfaitement valide ; seules les valeurs hors de −1 à 1 sont impossibles.

4La méthode pas à pas

  1. Calculez les moyennes x̄ et ȳ.
  2. Faites un tableau avec les colonnes x − x̄, y − ȳ, leur produit et (x − x̄)². Ajoutez (y − ȳ)² si r est demandé.
  3. Additionnez les colonnes pour obtenir Sxy, Sxx et Syy.
  4. Pente b = Sxy/Sxx, puis ordonnée à l’origine a = ȳ − b · x̄.
  5. Corrélation r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Prédiction : mettez x dans ŷ = a + bx. Résidu : e = y − ŷ.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Cinq paires sont mesurées : x = 1, 2, 3, 4, 5 et y = 3, 5, 6, 8, 8. Trouvez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x et prédisez ŷ pour x = 6.

1

Les moyennes

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Les écarts

x − x̄ : −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ : −3, −1, 0, 2, 2.

3

Les sommes

Multipliez les paires : 6, 1, 0, 2, 4. Élevez les écarts en x au carré : 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Pente et ordonnée à l’origine

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Les traits en pointillés sont les résidus. Ils sont petits, donc la droite ajuste bien les données.

5

Prédisez

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Vérification : la droite passe par le point moyen, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Réponse

ŷ = 2,1 + 1,3x, et la prédiction pour x = 6 est ŷ = 9,9.

6Erreurs fréquentes

  • Calculer le résidu comme ŷ − y au lieu de y − ŷ.
  • Diviser par Syy au lieu de Sxx pour la pente.
  • Confondre a et b : la pente multiplie x.
  • Oublier que r a le même signe que la pente.
  • Prédire bien en dehors de l’étendue des données. La droite peut ne plus être valable là-bas.
Auto-évaluation La droite est ŷ = 2,1 + 1,3x. Un nouveau point (6, 8) est mesuré. Quel est son résidu ?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Réponse: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, donc e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Le point est sous la droite. 1,9 calcule ŷ − y, dans le mauvais sens.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : pente et ordonnée à l’origine. Cinq paires dans un tableau ; trouvez b ou a de la droite des moindres carrés.
  • Moyen : le coefficient de corrélation r, à partir des données ou de sommes données.
  • Difficile : prédiction. Utilisez la droite pour prédire ŷ pour un nouveau x, ou trouvez le résidu d’une nouvelle observation.

Une vérification rapide : le signe de b et de r doit correspondre à la direction du nuage de points.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xy2441262082210301235xy510102030

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Trouvez l’ordonnée à l’origine a.

n = 6

Calculer a

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la pente b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. La droite passe par (x̄, ȳ), donc a = ȳ − b·x̄.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Sommes des carrés et des produits

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Pente

b = 211/70 = 3,014

Ordonnée à l’origine

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Réponse

a = −0,6
Exemple 2Moyen
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Calculer r

Afficher les indices
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Coefficient de corrélation

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Réponse

r = 0,9746
Exemple 3Difficile
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Calculer ŷ

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la droite des moindres carrés : b = Sxy/Sxx et a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Sommes des carrés et des produits

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Droite de régression

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Prédiction

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Réponse

ŷ = 21,75

Questions et réponses

Régression linéaire et corrélation : de quoi s’agit-il ?

Vous mesurez deux grandeurs pour chaque cas, par exemple x = heures d’étude et y = note d’examen. Chaque paire est un point d’un nuage de points.

Si les points sont à peu près alignés le long d’une droite, vous pouvez les décrire avec une droite et l’utiliser pour prédire y à partir de x. C’est la régression linéaire.

Régression linéaire et corrélation : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Régression linéaire et corrélation : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • L’ordonnée à l’origine vaut a = ȳ − b·x̄ : la droite passe par (x̄, ȳ).
  • ȳ est la hauteur de la droite en x = x̄, pas en x = 0. Utilisez a = ȳ − b·x̄.
  • Utilisez le même diviseur (n ou n − 1) dans la covariance et dans les deux écarts types. Avec Sxy, Sxx et Syy, les diviseurs se simplifient.
Régression linéaire et corrélation : que couvrent les exercices ?
  • Facile: pente et ordonnée à l’origine
  • Moyen: coefficient de corrélation
  • Difficile: prédiction

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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