Intervalles de confiance : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : intervalle de confiance · estimation par intervalle

Exercices gratuits sur Intervalles de confiance avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : intervalle z, intervalle t, taille d’échantillon.

Exercice gratuitFacile
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Dans un sondage auprès de 100 électeurs choisis au hasard, 55 soutiennent une proposition. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la proportion de partisans.

n = 100x = 5590%
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facileintervalle z
  2. Moyenintervalle t
  3. Difficiletaille d’échantillon

Comment résoudre les exercices de Intervalles de confiance

  1. Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
  2. Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
  3. Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
  4. Intervalle : x̄ ± E.

Erreurs fréquentes

  • Oublier de diviser par √n.
  • Utiliser z alors que l’échantillon est petit et que σ est inconnu.
  • Arrondir la taille de l’échantillon à l’entier inférieur au lieu de l’entier supérieur.

Formules clés

σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up

Apprendre Intervalles de confiance depuis zéro

Avant cela : Loi normale

1Ce qu’est un intervalle de confiance

Vous voulez la moyenne μ d’une population entière, par exemple la durée de vie moyenne de toutes les piles qu’une usine fabrique. Vous ne pouvez pas toutes les tester, donc vous testez un échantillon de n piles.

La moyenne d’échantillon x̄ est votre meilleure estimation de μ, mais un autre échantillon donnerait un x̄ légèrement différent. Un seul nombre cache cette incertitude.

Un intervalle de confiance donne plutôt une plage : de x̄ moins une marge jusqu’à x̄ plus une marge.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Un intervalle de confiance à 95 % est construit par une méthode qui capture la vraie valeur de μ dans 95 % de tous les échantillons. Un niveau de confiance plus élevé donne un intervalle plus large.

Auto-évaluation Vous calculez un intervalle de confiance à 90 % et un à 99 % à partir du même échantillon. Lequel est le plus large ?
  1. Cela dépend de la moyenne de l’échantillon
  2. Ils ont la même largeur
  3. L’intervalle à 90 %
  4. L’intervalle à 99 %

Réponse: L’intervalle à 99 %. Pour être plus sûr que l’intervalle contient μ, il doit être plus large. La valeur critique à 99 %, 2,576, est supérieure à celle à 90 %, 1,645.

2L’intervalle z

Quand l’écart-type σ de la population est connu, l’intervalle est :

x̄ ± z · σ / √n

Le terme σ/√n est l’erreur-type : de combien x̄ varie d’un échantillon à l’autre. Un échantillon plus grand donne une erreur-type plus petite.

La valeur critique z dépend du niveau de confiance. Retenez ces trois valeurs :

  • 90 % : z = 1,645
  • 95 % : z = 1,96
  • 99 % : z = 2,576

La marge d’erreur est E = z · σ/√n. L’intervalle va de x̄ − E (la borne inférieure) à x̄ + E (la borne supérieure).

Auto-évaluation Un échantillon de 64 a pour moyenne 55. L’écart-type σ de la population est 12. Quelle est la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % ?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Réponse: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, donc la borne supérieure est 57,94. Oublier √n donne 78,52, et 57,47 utilise la valeur à 90 %, 1,645.

3L’intervalle t et la taille d’échantillon

En général, σ n’est pas connu. On utilise alors l’écart-type d’échantillon s, et la valeur critique vient de la loi de Student (loi t) :

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Le nombre de degrés de liberté ddl est n − 1. La valeur de t est supérieure à z, donc l’intervalle est plus large : il tient compte de l’incertitude supplémentaire sur s. Pour un grand n, t se rapproche de z.

À 95 % : t = 2,262 pour ddl = 9, t = 2,131 pour ddl = 15 et t = 2,045 pour ddl = 29.

Parfois, il faut prévoir la taille d’échantillon : quelle doit être la valeur de n pour une marge d’erreur d’au plus E ? Résolvez E = zσ/√n pour n :

n = (z · σ / E)²

Arrondissez toujours par excès à l’entier suivant. Arrondir par défaut donnerait une marge légèrement supérieure à E.

Auto-évaluation σ = 13. Quelle doit être la taille de l’échantillon pour un intervalle à 95 % avec une marge d’erreur d’au plus 2 ?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Réponse: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, arrondi par excès à 163. Arrondir par défaut à 162 donne une marge juste supérieure à 2, et 13 oublie de mettre au carré.

4La méthode pas à pas

  1. Notez n, x̄, et σ ou s.
  2. Choisissez z (σ connu) ou t avec ddl = n − 1 (seul s connu).
  3. Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
  4. Calculez l’erreur-type : σ/√n ou s/√n.
  5. Marge d’erreur : E = valeur critique × erreur-type.
  6. Intervalle : de x̄ − E à x̄ + E. Donnez la borne demandée.

Pour une question sur la taille d’échantillon : n = (zσ/E)², arrondi par excès.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un échantillon de 16 éléments a pour moyenne 40 et pour écart-type s = 6. La population est à peu près normale. Trouvez l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

1

z ou t ?

Seul l’écart-type d’échantillon s est connu, pas σ. On utilise donc t avec ddl = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Erreur type

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Marge d'erreur

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

L’intervalle

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Vérifiez la réponse

Avec z = 1,96, la marge serait 2,94. L’intervalle t est un peu plus large, comme il se doit quand σ est inconnu.

Réponse

L’intervalle de confiance à 95 % est [36,80 ; 43,20].

6Erreurs fréquentes

  • Oublier de diviser par √n.
  • Utiliser z alors que l’échantillon est petit et que σ est inconnu.
  • Utiliser ddl = n au lieu de ddl = n − 1 pour t.
  • Utiliser la valeur à 90 %, 1,645, pour un intervalle à 95 %.
  • Arrondir la taille de l’échantillon à l’entier inférieur au lieu de l’entier supérieur.
Auto-évaluation Un échantillon de n = 10 a un écart-type s = 5. σ est inconnu. Quelle valeur critique utilisez-vous pour un intervalle à 95 % ?
  1. t = 2,228 (ddl = 10)
  2. t = 2,262 (ddl = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Réponse: t = 2,262 (ddl = 9). σ est inconnu, donc on utilise t avec ddl = n − 1 = 9. Utiliser z ignore l’incertitude sur s, et ddl = 10 oublie le moins un.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : un intervalle z. σ est connu ; trouvez la borne inférieure ou supérieure.
  • Moyen : un intervalle t. Seul s est donné ; la valeur de t avec n − 1 degrés de liberté est donnée ou se lit dans une table.
  • Difficile : taille d’échantillon. Trouvez le plus petit n pour une marge d’erreur donnée, et arrondissez par excès.

Une vérification rapide : la moyenne de l’échantillon se trouve toujours exactement au milieu de l’intervalle.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Un échantillon de 200 mesures a une moyenne de 174,5. On sait que l’écart-type de la population est 30. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Calculer borne supérieure

Afficher les indices
  1. σ est connu, donc utilisez la valeur critique de z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Marge d'erreur

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervalle

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Réponse

borne supérieure = 178
Exemple 2Moyen
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 50 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 7,8. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 100 observations à la place ?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Calculer E₂

Afficher les indices
  1. E = z·σ/√n, et σ reste le même.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapport des marges

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nouvelle marge

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Réponse

E₂ = 5,515
Exemple 3Difficile
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Les diamètres de 21 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 1,2 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 20, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 9,591 et 2,5 % au-dessus de 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Calculer σ (µm)

Afficher les indices
  1. Pour une population normale, (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté.
  2. Intervalle pour σ² : de (n − 1)s²/34,17 à (n − 1)s²/9,591. Prenez les racines carrées pour σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Bornes pour σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Borne pour σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Réponse

σ = 1,733 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [0,9181, 1,733] µm.

Questions et réponses

Intervalles de confiance : de quoi s’agit-il ?

Vous voulez la moyenne μ d’une population entière, par exemple la durée de vie moyenne de toutes les piles qu’une usine fabrique. Vous ne pouvez pas toutes les tester, donc vous testez un échantillon de n piles.

La moyenne d’échantillon x̄ est votre meilleure estimation de μ, mais un autre échantillon donnerait un x̄ légèrement différent. Un seul nombre cache cette incertitude.

Intervalles de confiance : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
  2. Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
  3. Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
  4. Intervalle : x̄ ± E.
Intervalles de confiance : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Oublier de diviser par √n.
  • Utiliser z alors que l’échantillon est petit et que σ est inconnu.
  • Arrondir la taille de l’échantillon à l’entier inférieur au lieu de l’entier supérieur.
Intervalles de confiance : que couvrent les exercices ?
  • Facile: intervalle z
  • Moyen: intervalle t
  • Difficile: taille d’échantillon

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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Loi normale

Ensuite

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

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Calculatrice d’intervalle de confianceCalculatrice de taille d’échantillon

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