Dérivées : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : dérivation · calcul de dérivées · nombre dérivé

Exercices gratuits sur Dérivées avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : règle des puissances, dérivation en chaîne et du produit, tangentes et extremums.

Exercice gratuitFacile
xyx = −2

Soit f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Calcule la pente du graphe en x = −2, c'est-à-dire f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
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Ce que vous travaillez

  1. Facilerègle des puissances
  2. Moyendérivation en chaîne et du produit
  3. Difficiletangentes et extremums

Comment résoudre les exercices de Dérivées

  1. Identifiez la structure : somme, produit, quotient ou composée.
  2. Appliquez la règle des puissances à chaque puissance de x.
  3. Utilisez la règle du produit, du quotient ou de dérivation des fonctions composées si nécessaire.
  4. Simplifiez, et évaluez au point si c’est demandé.

Erreurs fréquentes

  • Oublier la dérivée intérieure dans la dérivation des fonctions composées.
  • Se tromper d’ordre dans la règle du quotient.
  • Traiter un multiple constant comme un produit.

Formules clés

Règle des puissances
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Règle du produit
(uv)′ = u′v + uv′
Règle du quotient
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Dérivation en chaîne
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Dérivées usuelles
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Apprendre Dérivées depuis zéro

Avant cela : Limites

1Ce qu’est une dérivée

Une dérivée mesure la vitesse à laquelle quelque chose change. Si la position d’une voiture change de 50 km chaque heure, sa vitesse est de 50 km/h : le taux de variation de la position.

Sur un graphique, la dérivée en un point est la pente de la courbe à cet endroit : son inclinaison, montante ou descendante, quand on zoome très près.

Cette pente est celle de la tangente, la droite qui touche tout juste la courbe en ce point.

xy(1, 1)m = 2

Pour y = x², la tangente en x = 1 a une pente de 2. On écrit f′(1) = 2, qui se lit « f prime de 1 ».

  • Dérivée positive : le graphique monte.
  • Dérivée négative : le graphique descend.
  • Dérivée nulle : le graphique est plat à cet endroit, par exemple en un sommet ou en un creux.
Auto-évaluation En un point où le graphique de f descend, la dérivée est…
  1. non définie
  2. nulle
  3. négative
  4. positive

Réponse: négative. La dérivée est la pente. Un graphique qui descend de gauche à droite a une pente négative.

2Les règles de base

Vous n’avez pas besoin des limites à chaque fois. Quelques règles couvrent la plupart des fonctions.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

C’est la règle de la puissance : faites passer l’exposant devant et diminuez-le de un. Ainsi (x³)′ = 3x² et (x)′ = 1.

  • Une constante seule a une dérivée nulle : elle ne change pas.
  • Un facteur constant reste : (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • Dans une somme, dérivez chaque terme séparément.

Apprenez aussi ceci : (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x et (cos x)′ = −sin x.

Auto-évaluation Quelle est la dérivée de 4x³ − 2x + 7 ?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Réponse: 12x² − 2. Règle de la puissance sur chaque terme : (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2 et la constante 7 donne 0.

3Règles du produit et de la chaîne

Deux autres règles traitent les fonctions construites à partir d’autres fonctions.

Règle du produit, pour deux fonctions multipliées entre elles :

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Règle de la chaîne, pour une fonction à l’intérieur d’une autre : dérivez la fonction extérieure en gardant l’intérieur tel quel, puis multipliez par la dérivée de l’intérieur.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

La règle du quotient découle de ces deux-là : (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Auto-évaluation Quelle est la dérivée de (2x + 5)³ ?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Réponse: 6(2x + 5)². Extérieur : 3(2x + 5)². Intérieur : (2x + 5)′ = 2. On multiplie : 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Oublier le 2 de l’intérieur est l’erreur classique.

4La méthode pas à pas

  1. Observez la structure : une somme de termes, un produit, un quotient ou une fonction dans une fonction.
  2. Réécrivez d’abord les racines et les fractions sous forme de puissances : √x = x1/2 et 1/x² = x−2.
  3. Appliquez les règles de l’extérieur vers l’intérieur, un morceau à la fois.
  4. Simplifiez le résultat.
  5. Si une valeur est demandée, ne remplacez par le nombre qu’à la fin.

Pour trouver un sommet ou un creux d’un graphique (un extremum), résolvez f′(x) = 0. La dérivée seconde vous dit de quel cas il s’agit : f″ < 0 est un maximum, f″ > 0 un minimum.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Soit f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Trouvez la pente en x = 0, ainsi que le maximum et le minimum locaux.

1

Dériver terme à terme

Utilisez la règle de la puissance sur chaque terme. La constante 1 disparaît.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

La pente en x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Donc la tangente en x = 0 monte de 9 unités pour chaque unité vers la droite.

3

Annuler la dérivée

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Lequel est le maximum ?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 est négative, donc x = 1 est un maximum. f″(3) = 6 est positive, donc x = 3 est un minimum.

5

Trouvez les valeurs

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

Le graphique le confirme : plat aux deux points, un sommet en (1, 5) et un creux en (3, 1).

Réponse

f′(0) = 9. Maximum local en (1, 5), minimum local en (3, 1).

6Erreurs fréquentes

  • Oublier la dérivée de l’intérieur dans la règle de la chaîne.
  • Écrire (u · v)′ = u′ · v′. La règle du produit a deux termes.
  • Se tromper d’ordre dans la règle du quotient : c’est u′v − uv′ au numérateur, avec un moins.
  • Remplacer par le nombre avant de dériver. Dérivez d’abord, puis remplacez.
  • Traiter un multiple constant comme 5x³ comme un produit. C’est plus simple : le 5 reste tout simplement.
Auto-évaluation Quelle est la dérivée de √x ?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Réponse: 1/(2√x). √x = x1/2, donc la dérivée est ½x−1/2 = 1/(2√x). Réécrire d’abord la racine sous forme de puissance rend le calcul facile.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : un polynôme. Utilisez la règle de la puissance et trouvez la pente en un x donné.
  • Moyen : la règle de la chaîne ou du produit, par exemple (2x + 5)⁵ ou x²·e−x, évaluée en un point.
  • Difficile : tangentes et extrema. Résolvez f′(x) = 0 et décidez quel point est le maximum.

Un contrôle rapide pour les questions de pente : regardez le graphique dans votre tête. S’il monte à cet endroit, votre réponse doit être positive.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xyx = 1

Soit f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Calcule la pente du graphe en x = 1, c'est-à-dire f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Calculer f′(1)

Afficher les indices
  1. Dérive terme à terme avec la règle (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Une constante disparaît.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Remplace maintenant x par 1.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Dériver terme à terme

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Remplacer

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Réponse

f′(1) = −6
Exemple 2Moyen
xyx = 1

Soit f(x) = x3·e−x. Calcule f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Calculer f′(1)

Afficher les indices
  1. Règle du produit avec u = x3 et v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Règle du produit

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Remplacer

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Réponse

f′(1) = 0,7358
Exemple 3Difficile
xy

Soit f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Trouve l'abscisse x du minimum local.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Calculer x

Afficher les indices
  1. En un maximum ou un minimum local, la dérivée est nulle.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. Pour une fonction cubique avec un terme en x³ positif, le maximum vient en premier (x plus petit) et le minimum ensuite.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dérivation : la dérivée f′(x) est la pente du graphe en x. Règle des puissances : (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Règle du produit : (uv)′ = u′v + uv′. Règle de dérivation en chaîne : (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Là où f′(x) = 0, le graphe a une tangente horizontale : un maximum, un minimum ou un point selle.

Dérivée

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Résoudre f′(x) = 0

x = 3 ou x = 6

Lequel est lequel

f″(x) = 6x − 27 : négative en un maximum, positive en un minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Réponse

x = 6

Questions et réponses

Dérivées : de quoi s’agit-il ?

Une dérivée mesure la vitesse à laquelle quelque chose change. Si la position d’une voiture change de 50 km chaque heure, sa vitesse est de 50 km/h : le taux de variation de la position.

Sur un graphique, la dérivée en un point est la pente de la courbe à cet endroit : son inclinaison, montante ou descendante, quand on zoome très près.

Dérivées : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Identifiez la structure : somme, produit, quotient ou composée.
  2. Appliquez la règle des puissances à chaque puissance de x.
  3. Utilisez la règle du produit, du quotient ou de dérivation des fonctions composées si nécessaire.
  4. Simplifiez, et évaluez au point si c’est demandé.
Dérivées : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Oublier la dérivée intérieure dans la dérivation des fonctions composées.
  • Se tromper d’ordre dans la règle du quotient.
  • Traiter un multiple constant comme un produit.
Dérivées : que couvrent les exercices ?
  • Facile: règle des puissances
  • Moyen: dérivation en chaîne et du produit
  • Difficile: tangentes et extremums

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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