Probabilités : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : calcul de probabilités · arbre de probabilités · probabilités conditionnelles

Exercices gratuits sur Probabilités avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : issues équiprobables, dénombrement et complémentaire, loi binomiale.

Exercice gratuitFacile
somme ≥ 4dé 1dé 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité P que la somme soit au moins 4 ?

2 dés≥ 4

Donne la probabilité sous forme décimale entre 0 et 1.

Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facileissues équiprobables
  2. Moyendénombrement et complémentaire
  3. Difficileloi binomiale

Formules clés

Complémentaire
P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Apprendre Probabilités depuis zéro

1Ce qu’est une probabilité

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui dit à quel point quelque chose est probable. 0 signifie que cela n’arrive jamais, 1 que cela arrive toujours.

Quand toutes les issues sont équiprobables, comptez-les :

P(A) = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues

Un sac contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes, soit 10 au total. Si vous en tirez une au hasard, P(bleue) = 5/10 = 0,5.

Un dé équilibré a 6 faces, donc P(six) = 1/6 ≈ 0,167 et P(pair) = 3/6 = 0,5.

Une probabilité peut aussi s’écrire en pourcentage : 0,5 vaut 50 %. Les réponses d’examen sont généralement des décimaux entre 0 et 1.

Auto-évaluation Un sac contient 2 boules rouges, 8 bleues et 4 vertes. Vous en tirez une au hasard. Que vaut P(rouge) ?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Réponse: 2/14 ≈ 0,143. Il y a 2 + 8 + 4 = 14 boules, dont 2 rouges : 2/14 ≈ 0,143. Diviser par 12 ne compte que les autres boules, alors que le total doit aussi inclure les rouges.

2Règles pour combiner des événements

  • Complémentaire : P(non A) = 1 − P(A). Utilisez-le pour les questions « au moins un » : P(au moins un) = 1 − P(aucun).
  • Et, événements indépendants : multipliez. Deux pièces équilibrées donnent P(deux faces) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Ou : P(A ou B) = P(A) + P(B) − P(A et B). Soustrayez l’intersection pour ne pas la compter deux fois.

Un tirage sans remise modifie le sac. Après avoir retiré une boule rouge, il y a une boule rouge de moins et une boule de moins au total.

Avec 5 boules rouges et 4 bleues, P(deux rouges) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Pour compter des groupes où l’ordre n’a pas d’importance, utilisez les combinaisons. Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n est :

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Ici n! = n · (n − 1) · … · 1. Donc C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 comités de 4 personnes parmi 6.

Auto-évaluation Un sac contient 5 boules rouges et 4 bleues. Vous en tirez deux sans remettre la première. Que vaut P(les deux rouges) ?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Réponse: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Utiliser 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 oublie que la première boule rouge n’est plus dans le sac.

3La loi binomiale

Certaines questions répètent le même essai n fois : tester 5 composants, deviner 8 réponses, lancer une pièce 3 fois. Chaque essai est un succès avec la probabilité p, indépendamment des autres.

Le nombre de succès X suit alors une loi binomiale :

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ : les k succès.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ : les n − k échecs.
  • C(n, k) : le nombre d’ordres différents dans lesquels les succès peuvent se placer.

Pour « au plus un », additionnez P(X = 0) et P(X = 1). Pour « au moins un », utilisez 1 − P(X = 0).

Auto-évaluation Vous lancez 3 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 faces ?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Réponse: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Oublier C(3, 2) donne 0,125 : c’est un seul ordre, comme FFP, mais PFF et FPF comptent aussi.

4La méthode pas à pas

  1. Notez ce qu’est une issue et combien d’issues il y a au total.
  2. Traduisez les mots : « et » signifie multiplier, « ou » signifie additionner (moins l’intersection), « non » signifie 1 − P.
  3. Pour « au moins un », calculez d’abord le complémentaire « aucun ».
  4. Sans remise : diminuez les effectifs après chaque tirage. Ou comptez avec des combinaisons.
  5. Essais indépendants répétés avec un p fixe : utilisez la formule binomiale.
  6. Vérifiez que la réponse est comprise entre 0 et 1.

Un arbre de probabilités aide quand il y a plusieurs étapes : multipliez le long d’une branche, et additionnez les branches dont vous avez besoin.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un sac contient 4 boules rouges et 6 bleues. Vous tirez deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P qu’au moins une d’elles soit rouge ?

1

Utilisez le complémentaire

« Au moins une rouge » comporte trois cas : rouge–rouge, rouge–bleue et bleue–rouge. L’opposé, « aucune rouge », n’a qu’un seul cas : bleue–bleue.

P(au moins une rouge) = 1 − P(deux bleues)
2

Premier tirage

Il y a 6 boules bleues sur 10.

P(première bleue) = 6/10
3

Deuxième tirage

Une boule bleue est partie, il reste donc 5 boules bleues sur 9.

P(deux bleues) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

Dans l’arbre, R est une boule rouge et B une boule bleue. La branche en gras est bleue–bleue.

4

Prenez le complémentaire

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Vérifiez la réponse

Comptez avec des combinaisons : il y a C(10, 2) = 45 paires, dont C(6, 2) = 15 sont bleues–bleues. 15/45 = 1/3, comme avant.

Les trois autres branches de l’arbre s’additionnent aussi : 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3.

Réponse

P = 2/3 ≈ 0,667

6Erreurs fréquentes

  • Additionner des probabilités pour « au moins un » au lieu d’utiliser 1 − P(aucun).
  • Oublier de diminuer les effectifs lors d’un tirage sans remise.
  • Oublier le facteur C(n, k) dans la formule binomiale.
  • Diviser par le mauvais total, par exemple seulement les autres couleurs.
  • Donner une probabilité supérieure à 1 ou inférieure à 0. C’est toujours le signe d’une erreur.
Auto-évaluation Vous lancez deux fois un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six ?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Réponse: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(aucun six) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Additionner 1/6 + 1/6 donne 1/3, ce qui compte deux fois le cas des deux six.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : issues équiprobables. Un tirage dans un sac de boules colorées, ou un lancer de dé.
  • Moyen : dénombrement et complémentaires. Des comités avec C(n, k), ou deux tirages sans remise.
  • Difficile : la loi binomiale. Exactement k succès, ou « au plus un » sous la forme P(X = 0) + P(X = 1).

Donnez la réponse sous forme de décimal compris entre 0 et 1, arrondi à trois ou quatre décimales.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

Le tableau donne la loi de probabilité de X, mais une probabilité manque. Trouvez P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Calculer P(X = 1)

Afficher les indices
  1. Toutes les probabilités d’une loi ont pour somme 1.
  2. Additionnez les probabilités connues.
  3. P = 1 − 0,75.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Somme des probabilités connues

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Probabilité manquante

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Réponse

P(X = 1) = 0,25
Exemple 2Moyen
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Calculer Var(X)

Afficher les indices
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Alors E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Moyenne des carrés

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Variance

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Réponse

Var(X) = 1,848
Exemple 3Difficile
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?

n = 12p = 0,3k = 5

Calculer P

Afficher les indices
  1. C'est une loi binomiale : un nombre fixe d'épreuves indépendantes, avec la même probabilité de succès.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formule binomiale

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Réponse

P = 0,1585

Questions et réponses

Probabilités : de quoi s’agit-il ?

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui dit à quel point quelque chose est probable. 0 signifie que cela n’arrive jamais, 1 que cela arrive toujours.

Quand toutes les issues sont équiprobables, comptez-les :

Probabilités : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σY = |a|·σX ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Probabilités : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • C’est la somme des probabilités connues. La probabilité manquante vaut 1 moins cette somme.
  • Les valeurs ne sont pas équiprobables : utilisez le fait que toutes les probabilités ont pour somme 1.
  • E(X²) n’est pas la variance : soustrayez μ².
Probabilités : que couvrent les exercices ?
  • Facile: issues équiprobables
  • Moyen: dénombrement et complémentaire
  • Difficile: loi binomiale

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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