Ensembles, relations et fonctions : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : théorie des ensembles

Exercices gratuits sur Ensembles, relations et fonctions avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : diagrammes de Venn et sous-ensembles, inclusion-exclusion et relations, fonctions et dénombrement.

Exercice gratuitFacile

Soit A = {b, e} et B = {1, 2}. Trouvez |A × B|.

A = {b, e}B = {1, 2}

Réponse exacte : un nombre entier, sans arrondi.

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Ce que vous travaillez

  1. Facilediagrammes de Venn et sous-ensembles
  2. Moyeninclusion-exclusion et relations
  3. Difficilefonctions et dénombrement

Comment résoudre les exercices de Ensembles, relations et fonctions

  1. Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
  2. Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
  3. Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
  5. Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.

Erreurs fréquentes

  • Additionner |A| et |B| sans soustraire l’intersection.
  • Oublier de rajouter le centre pour trois ensembles.
  • Intervertir l’exposant dans le nombre de fonctions : nᵐ pour m éléments vers n.
  • Appliquer g ∘ f dans le mauvais ordre : f agit en premier.
  • Oublier les paires (x, x) en comptant les paires d’une relation d’équivalence.

Formules clés

Deux ensembles
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Trois ensembles
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Différence et complémentaire
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Ensemble des parties et produit
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
Sous-ensembles de taille k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Fonctions A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Relations sur n éléments
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
Composition
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Apprendre Ensembles, relations et fonctions depuis zéro

Avant cela : Logique propositionnelle et preuves

1Ensembles et opérations ensemblistes

Un ensemble est une collection d’éléments distincts : A = {1, 2, 3}. L’ordre et les répétitions n’importent pas. |A| est le nombre d’éléments, et U est l’ensemble universel qui contient tout ce dont on parle.

  • A ∪ B (réunion) : les éléments de A ou de B ou des deux.
  • A ∩ B (intersection) : les éléments des deux.
  • A − B (différence) : les éléments de A qui ne sont pas dans B.
  • A′ (complémentaire) : les éléments de U qui ne sont pas dans A.

Dans un diagramme de Venn, deux cercles découpent U en quatre régions : seulement A, les deux, seulement B, et aucun. Toute expression ensembliste est une réunion de certaines de ces régions, donc on peut toujours la dénombrer région par région.

UAB125815

Ici |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 et |(A ∪ B)′| = 15.

Auto-évaluation Dans le diagramme ci-dessus, combien d’éléments a A − B ?
  1. 12
  2. 17
  3. 25
  4. 5

Réponse: 12. A − B garde la partie de A hors de B : seulement la région avec 12. Les 5 de l’intersection sont aussi dans B, et 17 est tout A.

2Dénombrer avec l’inclusion-exclusion

Additionner |A| et |B| compte l’intersection deux fois, donc on la soustrait une fois :

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Pour trois ensembles, on soustrait les intersections deux à deux, mais alors le centre a été retiré trois fois, donc on le rajoute :

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Dans les problèmes énoncés, il est en général plus sûr de remplir un diagramme de Venn du centre vers l’extérieur : d’abord les éléments des trois ensembles, puis chaque paire moins le centre, puis chaque ensemble seul moins ce qui est déjà placé.

Deux autres dénombrements reviennent souvent : un ensemble à n éléments a 2ⁿ sous-ensembles (son ensemble des parties 𝒫(A)), et |A × B| = |A|·|B| couples ordonnés.

Auto-évaluation Sur 40 étudiants, 25 étudient le français, 18 l’allemand et 9 les deux. Combien n’étudient ni l’un ni l’autre ?
  1. 15
  2. 34
  3. 3
  4. 6

Réponse: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34, donc 40 − 34 = 6 n’étudient ni l’un ni l’autre. Oublier de soustraire les 9 donne 43, ce qui dépasse tout le groupe.

3Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Sur 60 étudiants, 30 ont réussi les mathématiques (M), 25 la physique (P) et 20 la chimie (C). 10 ont réussi M et P, 8 M et C, 6 P et C, et 3 ont réussi les trois. Combien n’en ont réussi aucune ?

1

Centre

3 ont réussi les trois.

2

Paires seules

M et P seulement : 10 − 3 = 7. M et C seulement : 8 − 3 = 5. P et C seulement : 6 − 3 = 3.

3

Ensembles seuls

M seulement : 30 − 7 − 5 − 3 = 15. P seulement : 25 − 7 − 3 − 3 = 12. C seulement : 20 − 5 − 3 − 3 = 9.

4

Réunion et complémentaire

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

La formule donne le même résultat : 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54.

Réponse

60 − 54 = 6 étudiants n’ont réussi aucune des trois.

4Relations

Une relation R sur un ensemble X est un ensemble de couples ordonnés (x, y) avec x et y dans X. Dessinée comme un graphe orienté, chaque couple est une flèche et (x, x) est une boucle.

  • Réflexive : (x, x) ∈ R pour tout x : une boucle en chaque sommet.
  • Symétrique : (x, y) ∈ R vient toujours avec (y, x) ∈ R.
  • Antisymétrique : (x, y) et (y, x) sont tous deux dans R seulement quand x = y.
  • Transitive : (x, y) et (y, z) dans R imposent (x, z) ∈ R.

Une relation réflexive, symétrique et transitive est une relation d’équivalence. Elle découpe X en classes disjointes, comme les restes 0, 1 et 2 pour « x ≡ y (mod 3) ». Une classe de s éléments apporte s² couples ordonnés.

Pour réfuter une propriété, un seul contre-exemple suffit ; pour la démontrer, vérifiez chaque couple.

Auto-évaluation R = {(1, 2), (2, 3)} sur {1, 2, 3}. Quel couple faut-il ajouter pour rendre R transitive ?
  1. (1, 1)
  2. (1, 3)
  3. (2, 1)
  4. (3, 1)

Réponse: (1, 3). (1, 2) et (2, 3) sont dans R, donc la transitivité exige (1, 3). (2, 1) serait nécessaire pour la symétrie et (1, 1) pour la réflexivité.

5Fonctions

Une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B.

AB123abcd
  • Injective : des éléments différents ont des images différentes ; aucun élément de B ne reçoit deux flèches.
  • Surjective : chaque élément de B reçoit au moins une flèche.
  • Bijective : les deux. Alors seulement f a une réciproque f⁻¹.

La fonction de la figure est injective mais pas surjective : d ne reçoit aucune flèche. Une injection exige |A| ≤ |B| et une surjection |A| ≥ |B|.

Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions et n!/(n − m)! fonctions injectives. La composition (g ∘ f)(x) = g(f(x)) applique f en premier.

Auto-évaluation Combien y a-t-il de fonctions d’un ensemble à 3 éléments vers un ensemble à 4 éléments ?
  1. 12
  2. 24
  3. 64
  4. 81

Réponse: 64. Chacun des 3 éléments choisit une des 4 images : 4³ = 64. 3⁴ = 81 intervertit les rôles, 24 = 4·3·2 ne compte que les fonctions injectives, et 12 = 3·4 est la taille de A × B.

6Erreurs fréquentes

  • Additionner |A| + |B| sans soustraire l’intersection.
  • Oublier de rajouter le centre dans l’inclusion-exclusion à trois ensembles.
  • Écrire mⁿ au lieu de nᵐ pour le nombre de fonctions de m éléments vers n éléments.
  • Penser qu’une relation ne peut pas être à la fois symétrique et antisymétrique : la relation {(1, 1)} est les deux.
  • Appliquer g ∘ f dans le mauvais ordre : f agit en premier.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : diagrammes de Venn et sous-ensembles. Vous dénombrez une expression ensembliste à partir d’un diagramme de Venn, cliquez sur la région d’une expression, ou trouvez la taille d’un ensemble des parties, d’un produit cartésien ou d’une famille de sous-ensembles.
  • Moyen : inclusion-exclusion et relations. Vous résolvez des problèmes de dénombrement à deux et trois ensembles, dénombrez des expressions à partir des totaux de régions, décidez quelle propriété a une relation, ou comptez les couples nécessaires pour une clôture.
  • Difficile : fonctions et dénombrement. Vous classez une fonction comme injective, surjective ou bijective, dénombrez fonctions, injections et surjections, évaluez des composées et des réciproques, et comptez les couples dans des relations d’équivalence.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile

Soit A = {a, b, c, x, y} et B = {1, 2, 3, 4}. Trouvez |𝒫(A)|.

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

Calculer |𝒫(A)|

Afficher les indices
  1. Un ensemble à k éléments a 2ᵏ sous-ensembles : chaque élément est soit dans un sous-ensemble, soit hors de celui-ci.
  2. |A| = 5, |B| = 4.
  3. |𝒫(A)| = 2|A|.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.

Tailles

|A| = 5
|B| = 4

Compter

|𝒫(A)| = 25 = 32

Réponse

|𝒫(A)| = 32
Exemple 2Moyen
UMPC

Sur 53 étudiants de première année, 35 ont réussi les mathématiques (M), 28 ont réussi la physique (P) et 29 ont réussi la chimie (C). 20 ont réussi M et P, 18 ont réussi M et C, 10 ont réussi P et C, et 6 ont réussi les trois. Combien sont dans aucun des trois ensembles ?

|U| = 53

Calculer |(M ∪ P ∪ C)′|

Afficher les indices
  1. Remplissez le diagramme de Venn du centre vers l’extérieur : d’abord les trois, puis les paires, puis les ensembles seuls.
  2. Seulement M et P (pas C) : 20 − 6 = 14. Seulement M : 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. Au moins un ensemble : 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Ensembles et diagrammes de Venn : A ∪ B contient les éléments de A ou de B (ou des deux), A ∩ B les éléments des deux, A − B les éléments de A qui ne sont pas dans B, et le complémentaire A′ tout ce qui est dans U sans être dans A. Dans un diagramme de Venn, toute expression ensembliste est une réunion de régions, donc dénombre-la région par région. Inclusion-exclusion : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, et |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Centre et paires

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P uniquement: 20 − 6 = 14
M ∩ C uniquement: 18 − 6 = 12
P ∩ C uniquement: 10 − 6 = 4

Ensembles seuls

M uniquement: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P uniquement: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C uniquement: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

Réponse

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

Réponse

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
Exemple 3Difficile
x12345f(x)13234g(x)51541

Les fonctions f et g sur {1, 2, 3, 4, 5} sont données par leurs tableaux. Trouvez (f ∘ g)(5).

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

Calculer (f ∘ g)(5)

Afficher les indices
  1. (f ∘ g)(x) signifie f(g(x)) : d’abord g, puis f.
  2. La valeur intérieure est g(5) = 1.
  3. Appliquez maintenant la fonction extérieure à 1.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Fonctions et dénombrement : une fonction f: A → B donne à chaque élément de A exactement une image dans B. f est injective quand des éléments différents ont des images différentes, surjective quand tout élément de B est une image, et bijective quand les deux sont vraies. Avec |A| = m et |B| = n il y a nᵐ fonctions, n!/(n − m)! fonctions injectives (m ≤ n), et par inclusion-exclusion Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ fonctions surjectives. |𝒫(A)| = 2ᵐ et |A × B| = m·n.

Fonction intérieure

g(5) = 1

Fonction extérieure

f(1) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

Réponse

(f ∘ g)(5) = 1

Questions et réponses

Ensembles, relations et fonctions : de quoi s’agit-il ?

Un ensemble est une collection d’éléments distincts : A = {1, 2, 3}. L’ordre et les répétitions n’importent pas. |A| est le nombre d’éléments, et U est l’ensemble universel qui contient tout ce dont on parle.

Dans un diagramme de Venn, deux cercles découpent U en quatre régions : seulement A, les deux, seulement B, et aucun. Toute expression ensembliste est une réunion de certaines de ces régions, donc on peut toujours la dénombrer région par région.

Ensembles, relations et fonctions : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Dessinez un diagramme de Venn et décidez région par région ce qui appartient à l’expression ensembliste.
  2. Pour les problèmes de dénombrement, remplissez les régions du centre vers l’extérieur : tous les ensembles, puis les paires, puis les ensembles seuls, puis l’extérieur.
  3. Utilisez le principe d’inclusion-exclusion comme vérification : |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Pour une relation, testez chaque propriété sur chaque paire et donnez un contre-exemple quand elle échoue.
  5. Pour une fonction, comptez les flèches qui arrivent à chaque élément de B : au plus une signifie injective, au moins une surjective.
Ensembles, relations et fonctions : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Additionner |A| et |B| sans soustraire l’intersection.
  • Oublier de rajouter le centre pour trois ensembles.
  • Intervertir l’exposant dans le nombre de fonctions : nᵐ pour m éléments vers n.
  • Appliquer g ∘ f dans le mauvais ordre : f agit en premier.
  • Oublier les paires (x, x) en comptant les paires d’une relation d’équivalence.
Ensembles, relations et fonctions : que couvrent les exercices ?
  • Facile: diagrammes de Venn et sous-ensembles
  • Moyen: inclusion-exclusion et relations
  • Difficile: fonctions et dénombrement

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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