Statistique descriptive : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : moyenne · écart type · médiane · variance
Exercices gratuits sur Statistique descriptive avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : moyenne et médiane, écart-type, loi normale.
Exercice gratuitFacile
Trouve la moyenne x̄ des données : 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
Les statistiques descriptives résument une liste de nombres, appelée données, avec quelques valeurs. La première question est : où se trouve le centre ?
La moyenne est la moyenne ordinaire : additionnez toutes les valeurs et divisez par leur nombre, n.
x̄ = Σx / n
Le symbole Σ signifie « additionner toutes les valeurs », et x̄ se lit « x barre ». Pour 3, 5 et 10, la moyenne est 18/3 = 6.
La médiane est la valeur du milieu une fois les données triées de la plus petite à la plus grande.
n impair : la médiane est l’unique valeur centrale. Pour 3, 5, 10, c’est 5.
n pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Une valeur extrême, une valeur aberrante, tire la moyenne vers elle mais déplace à peine la médiane. Les revenus sont souvent résumés par la médiane pour cette raison.
Auto-évaluation Quelle est la médiane de 4, 40, 29, 22, 17, 20 ?
20
21
22
25,5
Réponse: 21. Triées : 4, 17, 20, 22, 29, 40. Les deux valeurs centrales sont 20 et 22, donc la médiane est 21. 25,5 vient du milieu de la liste non triée ; 22 est la moyenne.
2La dispersion : l’écart-type
Deux séries de données peuvent avoir la même moyenne mais une dispersion très différente. L’écart-type s mesure de combien les valeurs s’éloignent typiquement de la moyenne.
Chaque valeur a un écart x − x̄. Les écarts s’additionnent à zéro, donc on les élève d’abord au carré, ce qui les rend tous positifs.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
C’est l’écart-type d’échantillon : on divise par n − 1, et non par n. Le carré de s s’appelle la variance.
Pour 2, 4 et 6 : la moyenne est 4, les écarts sont −2, 0 et 2, la somme des carrés est 8, 8/2 = 4, et s = √4 = 2.
Auto-évaluation Quel est l’écart-type d’échantillon de 2, 4 et 6 ?
0
1,633
2
4
Réponse: 2. Σ(x − x̄)² = 8, divisé par n − 1 = 2 donne 4, et √4 = 2. Diviser par n = 3 donne 1,633 ; 4 oublie la racine carrée, et 0 est la somme des écarts avant l’élévation au carré.
3Scores z et loi normale
De nombreuses mesures, comme les tailles ou les notes d’examen, suivent une courbe en cloche : la loi normale. Son centre est la moyenne μ et sa largeur est l’écart-type σ.
Un score z indique à combien d’écarts-types une valeur se trouve de la moyenne :
z = (x − μ) / σ
Avec μ = 70 et σ = 10, une note de 74 a z = 4/10 = 0,4. Un z négatif signifie que la valeur est inférieure à la moyenne.
La règle 68–95–99,7 : environ 68 % des valeurs se trouvent à moins de 1σ de la moyenne, 95 % à moins de 2σ et 99,7 % à moins de 3σ.
Avec μ = 50 et σ = 5, la valeur 60 a z = 2. Environ 95 % se situent entre 40 et 60, donc environ 2,5 % sont au-dessus de 60. Une table de z donne la valeur exacte 0,0228.
Auto-évaluation Les scores de QI suivent une loi normale avec μ = 100 et σ = 15. Quel pourcentage approximatif de personnes obtient plus de 115 ?
16%
32%
34%
68%
Réponse: 16%. 115 est à 1σ au-dessus de la moyenne. 68 % se trouvent à moins de 1σ, donc 32 % en dehors, répartis également entre les deux queues : 16 % au-dessus. 32 % oublie de partager entre les deux queues.
4La méthode pas à pas
Écrivez les données sur une ligne et comptez n.
Moyenne : additionnez tout et divisez par n.
Médiane : triez d’abord, puis prenez la valeur du milieu, ou la moyenne des deux valeurs centrales.
Écart-type : soustrayez la moyenne de chaque valeur, élevez au carré, additionnez, divisez par n − 1, prenez la racine carrée.
Score z : soustrayez μ, divisez par σ. Utilisez ensuite la règle 68–95–99,7 ou une table de z pour obtenir une proportion.
Un tableau avec les colonnes x, x − x̄ et (x − x̄)² permet de garder le calcul de l’écart-type bien ordonné.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Trouvez la moyenne, la médiane et l’écart-type d’échantillon s des données : 4, 8, 6, 5, 7.
1
La moyenne
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
La médiane
Triées : 4, 5, 6, 7, 8. Avec n = 5, la valeur centrale est la troisième.
médiane = 6
3
Écarts et carrés
Soustrayez la moyenne de chaque valeur : −2, 2, 0, −1, 1. Vérification : leur somme est 0.
Élevez-les au carré : 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Diviser par n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Prendre la racine carrée
s = √2,5 ≈ 1,58
Vérification : les valeurs sont à 0, 1 ou 2 de la moyenne, donc une distance typique d’environ 1,6 est cohérente.
Réponse
Moyenne x̄ = 6, médiane 6, et s ≈ 1,58.
6Erreurs fréquentes
Prendre le milieu de la liste sans l’avoir triée d’abord.
Diviser par n au lieu de n − 1 pour un écart-type d’échantillon.
Oublier la racine carrée à la fin, ce qui donne la variance au lieu de s.
Se tromper de signe pour un score z : une valeur inférieure à la moyenne a un z négatif.
Oublier de diviser par σ dans le score z.
Auto-évaluation Les notes d’un examen ont pour moyenne 70 et pour écart-type 10. Quel est le score z d’une note de 60 ?
1
6
−10
−1
Réponse: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. La note est inférieure à la moyenne, donc z est négatif. −10 oublie de diviser par σ.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : la moyenne ou la médiane d’une courte série de données.
Moyen : l’écart-type d’échantillon de cinq ou six valeurs. Divisez par n − 1.
Difficile : la loi normale. Trouvez un score z, ou la proportion de valeurs au-dessus ou en dessous d’une valeur donnée.
Une vérification rapide : la moyenne et la médiane se situent entre la plus petite et la plus grande valeur, et s n’est jamais négatif.
Trouve la médiane M des données : 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Calculer M
Afficher les indices
Trie les valeurs de la plus petite à la plus grande.
Avec un nombre impair de valeurs, la médiane est celle du milieu.
triées: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Trier
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Valeur du milieu
M = 18
Réponse
M = 18
Exemple 2Moyen
Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Calculer s
Afficher les indices
Calcule d'abord la moyenne.
Élève chaque écart à la moyenne au carré, additionne, divise par n − 1 et prends la racine carrée.
x̄ = 37,71.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 36 ?
μ = 60σ = 12x = 36
Calculer P
Afficher les indices
Convertis d'abord en score z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Lis Φ(z) dans la table de la loi normale centrée réduite.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Centrer-réduire
z = −2
Table de la loi normale
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Réponse
P = 0,02275
Questions et réponses
Statistique descriptive : de quoi s’agit-il ?
Les statistiques descriptives résument une liste de nombres, appelée données, avec quelques valeurs. La première question est : où se trouve le centre ?
La moyenne est la moyenne ordinaire : additionnez toutes les valeurs et divisez par leur nombre, n.
Statistique descriptive : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.
Statistique descriptive : que couvrent les exercices ?
Facile: moyenne et médiane
Moyen: écart-type
Difficile: loi normale
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.