Analyse à plusieurs variables : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : dérivées partielles · intégrales doubles · fonctions de plusieurs variables

Exercices gratuits sur Analyse à plusieurs variables avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : dérivées partielles et intégrales doubles, gradient, plan tangent et dérivation en chaîne, points critiques et intégrales sur des régions.

Exercice gratuitFacile
xy3−3P

Pour f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Faciledérivées partielles et intégrales doubles
  2. Moyengradient, plan tangent et dérivation en chaîne
  3. Difficilepoints critiques et intégrales sur des régions

Comment résoudre les exercices de Analyse à plusieurs variables

  1. Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
  2. Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (fx, fy) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
  3. Pour les extremums, résolvez fx = 0 et fy = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = fxx·fyy − fxy².
  4. Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.

Erreurs fréquentes

  • Dériver la variable qui devrait rester constante.
  • Oublier de normaliser le vecteur directeur.
  • Écrire D = fxx·fyy + fxy² ou appeler extremum un point avec D < 0.
  • Utiliser des bornes intérieures constantes pour une région délimitée par des courbes.
  • Omettre le facteur r dans dA = r dr dθ.

Formules clés

Dérivées partielles
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Dérivée directionnelle
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plan tangent
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Dérivation en chaîne
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test des dérivées secondes
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Intégrale double
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordonnées polaires
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Apprendre Analyse à plusieurs variables depuis zéro

Avant cela : Dérivées, Intégrales

1Dérivées partielles

Une fonction de deux variables, z = f(x, y), est une surface au-dessus du plan xy. Sur une carte, elle se dessine avec des courbes de niveau, des lignes où f a la même valeur.

Une dérivée partielle mesure la pente dans une direction. Pour ∂f/∂x (aussi notée fx), vous maintenez y constant et vous dérivez par rapport à x, avec les règles ordinaires.

Exemple : f(x, y) = x²y + 3y². Traitez y comme un nombre pour fx, et x comme un nombre pour fy :

fx = 2xy fy = x² + 6y

En (1, 2), cela donne fx = 4 et fy = 1 + 12 = 13.

En dérivant encore, on obtient les dérivées secondes fxx, fyy et fxy. L’ordre de la dérivée mixte n’a pas d’importance : fxy = fyx. Ici fxy = 2x.

Auto-évaluation Que vaut ∂f/∂y pour f(x, y) = x³y² ?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Réponse: 2x³y. Maintenez x constant : x³ est un facteur constant, et y² donne 2y, donc fy = 2x³y. 3x²y² est ∂f/∂x.

2Gradient et dérivée directionnelle

Le gradient rassemble les deux dérivées partielles : ∇f = (fx, fy). Il pointe dans la direction où f croît le plus vite, à angle droit avec la courbe de niveau.

xy∇fP

La pente maximale elle-même est la longueur |∇f| = √(fx² + fy²).

La pente dans toute autre direction v est la dérivée directionnelle. Rendez d’abord v unitaire, u = v/|v|, puis faites le produit scalaire :

Duf = ∇f·u

Pour f = x²y + 3y² en (1, 2) : ∇f = (4, 13). Dans la direction v = (3, 4), u = (0,6 ; 0,8), donc Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Auto-évaluation En un point, ∇f = (3, 4). Quel est le plus grand taux d’accroissement de f en ce point ?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Réponse: 5. C’est |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Additionner les composantes donne 7, et oublier la racine carrée donne 25.

3Plan tangent et dérivation en chaîne

Près d’un point (a, b), la surface est presque plane. Le plan tangent est

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Il donne l’approximation linéaire f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Exemple : f = x²y + 3y² vérifie f(1, 2) = 14, donc près de (1, 2) : f(1,1 ; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. La valeur exacte est 13,129.

Quand x et y dépendent tous deux de t, la dérivation en chaîne additionne les deux chemins : dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Points critiques

En un maximum, un minimum ou un point selle, la surface est plate : fx = 0 et fy = 0. Ces points sont les points critiques.

Le test des dérivées secondes utilise D = fxxfyy − fxy² au point :

  • D > 0 et fxx > 0 : minimum local.
  • D > 0 et fxx < 0 : maximum local.
  • D < 0 : point selle, en montée dans une direction et en descente dans une autre.
  • D = 0 : le test ne permet pas de conclure.
Exemple détaillé

Trouvez et classez les points critiques de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Annuler les deux dérivées partielles

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Les points critiques sont (1, 2) et (−1, 2).

2

Dérivées secondes

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Tester (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 et fxx = 6 > 0 : un minimum local, avec f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Tester (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0 : un point selle.

Réponse

Minimum local en (1, 2) avec f = −6 ; point selle en (−1, 2).

5Intégrales doubles

Une intégrale double ∬R f dA additionne f sur une région R ; pour f = 1, c’est l’aire de R. Calculez-la comme deux intégrales simples, l’intérieure d’abord.

Sur un rectangle, les bornes sont des nombres : ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. L’intégrale intérieure donne x + 1, et ∫02 (x + 1) dx = 4.

Sur une région générale, les bornes intérieures sont les courbes qui la délimitent. Pour la région comprise entre y = x² et y = 2x, y va de x² à 2x, et x de 0 à 2.

xyy = 2xy = x²2
Aire = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires : x² + y² = r² et dA = r dr dθ. Sur le disque r ≤ 2 : ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Auto-évaluation En coordonnées polaires, que devient dA ?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Réponse: r dr dθ. Un petit élément polaire a pour largeur Δr et pour longueur r·Δθ, donc dA = r dr dθ. Oublier le facteur r est l’erreur la plus fréquente.

6Erreurs fréquentes et questions d’examen

  • Dériver aussi la variable « constante » dans une dérivée partielle.
  • Utiliser v au lieu du vecteur unitaire u dans une dérivée directionnelle.
  • Écrire D = fxxfyy + fxy², ou classer comme extremum un point avec D < 0.
  • Utiliser des nombres comme bornes intérieures quand la région est délimitée par des courbes.
  • Oublier le facteur r en coordonnées polaires.

Facile : dérivées partielles en un point et intégrales sur des rectangles. Moyen : gradient, dérivée directionnelle, plan tangent et dérivation en chaîne. Difficile : classer des points critiques et intégrales sur des régions courbes, en coordonnées polaires ou avec l’ordre inversé.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
xy−1−3P

Pour f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂x au point (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Calculer fx(−1, −3)

Afficher les indices
  1. Traitez y comme un nombre constant et dérivez par rapport à x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Remplacez x = −1 et y = −3.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Dérivées partielles : ∂f/∂x est la dérivée ordinaire par rapport à x pendant que y est maintenu constant (traitez y comme un nombre), et ∂f/∂y l’inverse. Les règles (puissance, produit, composée) sont les mêmes qu’à une variable. Les dérivées secondes mixtes donnent le même résultat dans les deux ordres : fxy = fyx. Une intégrale double sur un rectangle se calcule comme deux intégrales simples, l’intérieure d’abord : ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Dériver

y est maintenu constant.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Remplacer

fx(−1, −3) = −4

Réponse

fx(−1, −3) = −4
Exemple 2Moyen

z = 2x²e3y avec x = −t − 2 et y = t² + 2. Utilisez la dérivation en chaîne pour trouver dz/dt en t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Calculer dz/dt

Afficher les indices
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. En t = 0 : x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Gradient : ∇f = (fx, fy) pointe dans la direction de la plus forte montée, et |∇f| est le taux de variation maximal. La dérivée directionnelle suivant une direction v est Duf = ∇f·u avec le vecteur unitaire u = v/|v|. Le plan tangent en (a, b) est z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) ; il donne l’approximation linéaire de f près de ce point. Dérivation en chaîne : dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Point et taux de variation

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Dérivées partielles

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Dérivation en chaîne

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Réponse

dz/dt = 3227
Exemple 3Difficile
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy a un point critique en (1, 1). Calculez-y le discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Calculer D

Afficher les indices
  1. Trouvez les trois dérivées secondes fxx, fyy et fxy.
  2. Au point : fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Points critiques et intégrales doubles : un point critique vérifie fx = fy = 0. Test des dérivées secondes avec D = fxxfyy − fxy² : D > 0 et fxx > 0 est un minimum local, D > 0 et fxx < 0 un maximum local, D < 0 un point selle, et D = 0 ne permet pas de conclure. Pour une intégrale double sur une région générale, prenez comme bornes intérieures les courbes qui délimitent la région ; pour des disques et des secteurs, utilisez les coordonnées polaires, x = r cos θ, y = r sin θ et dA = r dr dθ (n’oubliez pas le facteur r).

Dérivées secondes

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Discriminant

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ minimum local

Réponse

D = 27

Questions et réponses

Analyse à plusieurs variables : de quoi s’agit-il ?

Une fonction de deux variables, z = f(x, y), est une surface au-dessus du plan xy. Sur une carte, elle se dessine avec des courbes de niveau, des lignes où f a la même valeur.

Une dérivée partielle mesure la pente dans une direction. Pour ∂f/∂x (aussi notée fx), vous maintenez y constant et vous dérivez par rapport à x, avec les règles ordinaires.

Analyse à plusieurs variables : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Pour une dérivée partielle, traitez l’autre variable comme une constante et utilisez les règles à une variable.
  2. Pour les questions de gradient, calculez ∇f = (fx, fy) au point ; utilisez |∇f| pour la pente maximale et ∇f·u avec un vecteur unitaire u pour une dérivée directionnelle.
  3. Pour les extremums, résolvez fx = 0 et fy = 0 ensemble, puis classez chaque point avec D = fxx·fyy − fxy².
  4. Pour une intégrale double, esquissez la région, choisissez l’ordre (ou les coordonnées polaires pour les disques) de sorte que les bornes intérieures soient les courbes qui la délimitent, et intégrez d’abord l’intérieur.
Analyse à plusieurs variables : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Dériver la variable qui devrait rester constante.
  • Oublier de normaliser le vecteur directeur.
  • Écrire D = fxx·fyy + fxy² ou appeler extremum un point avec D < 0.
  • Utiliser des bornes intérieures constantes pour une région délimitée par des courbes.
  • Omettre le facteur r dans dA = r dr dθ.
Analyse à plusieurs variables : que couvrent les exercices ?
  • Facile: dérivées partielles et intégrales doubles
  • Moyen: gradient, plan tangent et dérivation en chaîne
  • Difficile: points critiques et intégrales sur des régions

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