Fiche d’exercices de Analyse à plusieurs variables avec corrigé

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1.Facile

Pour f(x, y) = −3xy² − y³ − 3xy, trouvez la dérivée partielle seconde mixte ∂²f/∂x∂y en (−1, 2).

f(x, y) = −3xy² − y³ − 3xyP = (−1, 2)
fxy(−1, 2) =
2.Facile
xy−13P

Pour f(x, y) = −2xy² + 5x² − 4xy, trouvez la dérivée partielle ∂f/∂y au point (−1, 3).

f(x, y) = −2xy² + 5x² − 4xyP = (−1, 3)
fy(−1, 3) =
3.Moyen
xy−2024−2024PQ

Pour f(x, y) = −4x³y² + 5x³ + y³ − 3xy, trouvez la dérivée directionnelle Duf en P(1, 2) dans la direction de Q(5, −2).

f(x, y) = −4x³y² + 5x³ + y³ − 3xyP = (1, 2)Q = (5, −2)
Duf =
4.Moyen
xy3−1P

Le plan tangent à z = 5x³y³ + 3x² − 5y² − 3xy au point où (x, y) = (3, −1) peut s’écrire z = px + qy + c. Trouvez c.

f(x, y) = 5x³y³ + 3x² − 5y² − 3xy(a, b) = (3, −1)
c =
5.Difficile
xyy = 0,8y = x0,80,8

L’intégrale I = ∫00,8 ∫x0,8 sin(y²) dy dx ne peut pas se calculer dans cet ordre. Inversez l’ordre d’intégration et calculez-la.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8
I =
6.Difficile
xy3

Utilisez les coordonnées polaires pour calculer I = ∬R e−(x² + y²) dA, où R est le disque x² + y² ≤ 9.

f = e−(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ 2π
I =

Corrigé

  1. 1. fxy(−1, 2) = −15
  2. 2. fy(−1, 3) = 16
  3. 3. Duf = −22,63
  4. 4. c = 644
  5. 5. I = 0,09895
  6. 6. I = 3,141

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