Mathématiques pour l’ingénieur 2 : exercices et sujets d’examen

Le deuxième cours de mathématiques pour ingénieurs : équations différentielles du second ordre, matrices et vecteurs, techniques d’intégration avec volumes de révolution, dérivées partielles et intégrales doubles, séries et polynômes de Taylor, transformée de Laplace et convolution. Ce sont les outils sur lesquels reposent les cours de circuits, de vibrations et d’automatique.

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Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

  1. Équations différentiellescroissance et décroissance exponentielles · Loi de refroidissement de Newton · équations linéaires du premier ordrecalculs
  2. Matrices et déterminantsdéterminant 2×2 · 3×3 et produits · valeurs propres et systèmescalculs
  3. Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielnorme et composantes · produit scalaire · produit vectoriel et momentscalculs
  4. Intégralespolynômes · exponentielles, logarithmes et changement de variable · aires entre courbescalculs
  5. Analyse à plusieurs variablesdérivées partielles et intégrales doubles · gradient, plan tangent et dérivation en chaîne · points critiques et intégrales sur des régionscalculs
  6. Suites et sériesséries arithmétiques et géométriques · convergence et séries entières · polynômes de Taylor et de Maclaurincalculs
  7. Transformées de Laplacetables de couples et théorèmes des valeurs · transformée inverse par éléments simples · Équations différentielles et fonctions de transfertcalculs
  8. Convolution et systèmes LTIconvolution discrète · convolution continue · réponse impulsionnelle et série de Fouriercalculs

Conseils pour l’examen de Mathématiques pour l’ingénieur 2

  • Pour une EDO linéaire, écrivez d’abord l’équation caractéristique : ses racines déterminent la forme de la solution.
  • Dans l’intégration par parties, choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive.
  • Utilisez une table de Laplace et la décomposition en éléments simples plutôt que d’intégrer la transformée à la main.

Exemples corrigés

Équations différentiellesFacile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 4y′ + 3y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Calculer r

Afficher les indices
  1. Substituez y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Factorisez ou utilisez la formule du second degré.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.

Équation caractéristique

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Racines

r = −1, r = −3
la plus proche de zéro: r = −1

Réponse

r = −1

La solution générale est y = A·e−1t + B·e−3t.

Matrices et déterminantsMoyen
A =−153−5−1−3−513

Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Calculer det A

Afficher les indices
  1. Développe selon la première ligne avec les signes + − +.
  2. Chaque terme est un coefficient multiplié par le déterminant 2×2 qui reste quand on raye sa ligne et sa colonne.
  3. mineurs: 0, −30, −10.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Mineurs 2×2 de la première ligne

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Développement par cofacteurs

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Réponse

det A = 120

Comment fonctionne l’entraînement

  • « S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de transformée de Laplace inverse (décomposition en éléments simples)Calculatrice de transformée de LaplaceCalculatrice de déterminant et d’inverse de matriceCalculatrice de valeurs propres et de vecteurs propresCalculatrice de demi-vie et de décroissance exponentielleRésolution de systèmes d’équations linéaires (2×2 et 3×3)Calculatrice d’intégrale (définie et indéfinie)

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