Transformées de Laplace : exercices corrigés pas à pas

1Ce que fait la transformée de Laplace

Les circuits, les moteurs et les réservoirs sont décrits par des équations différentielles : la sortie dépend de sa propre vitesse de variation. Les résoudre directement est lent.

La transformée de Laplace transforme un tel problème en algèbre. Vous remplacez chaque fonction du temps f(t) par une fonction F(s) d’une nouvelle variable s.

Vous résolvez le problème avec de l’algèbre ordinaire en s, puis vous retraduisez le résultat en temps. Cette dernière étape est la transformée inverse.

Vous utilisez rarement cette intégrale vous-même. En pratique, vous cherchez des couples de transformées dans une table, comme des mots dans un dictionnaire entre deux langues.

La figure montre trois signaux courants : une constante 1 (un échelon), une exponentielle décroissante et une sinusoïde. Sous chacun se trouve sa transformée.

2La table des couples de transformées

Apprenez ces cinq couples. Avec deux règles, ils couvrent presque tous les problèmes d’examen.

• Linéarité : les constantes restent devant, et une somme se transforme terme à terme. Donc 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t.
• Décalage : remplacer s par s + a multiplie la fonction du temps par e^−at. Donc (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t.

Attention au couple du sinus : le numérateur doit être ω lui-même. Pour 12/(s² + 9), on a ω = 3, donc écrivez 12 = 4·3. Le résultat est 4·sin 3t.

Dans sin ωt et cos ωt, l’angle ωt est en radians. Réglez votre calculatrice en radians avant de calculer.

3Valeurs initiale et finale sans inversion

Parfois vous avez seulement besoin de savoir d’où part f(t) ou où elle arrive. Deux théorèmes les donnent directement à partir de F(s).

• Valeur initiale (s → ∞) : pour de très grands s, seule la plus haute puissance de s au numérateur et au dénominateur compte.
• Valeur finale (s → 0) : simplifiez le facteur s, puis posez s = 0 dans tous les facteurs restants, zéros compris.
• Le théorème de la valeur finale ne fonctionne que si f(t) se stabilise vraiment : tous les pôles de s·F(s) doivent avoir une partie réelle négative.

Valeur finale : pour F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)), on obtient s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). En s = 0, cela donne 12/6 = 2, donc f(∞) = 2.

Valeur initiale : pour F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6), on obtient s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Pour de grands s, cela se comporte comme 3s²/s², donc f(0⁺) = 3.

Pour la pente initiale f′(0⁺), utilisez la transformée de la dérivée, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Appliquez ensuite le théorème de la valeur initiale à celle-ci :

Pour le même F(s) : s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Multipliez par s et faites tendre s vers ∞. Les plus hautes puissances donnent −5s²/s², donc f′(0⁺) = −5.

4Décomposition en éléments simples, pas à pas

La plupart des F(s) ne figurent pas telles quelles dans la table. On les décompose en fractions simples qui y figurent. C’est la décomposition en éléments simples.

Chaque racine du dénominateur est un pôle. Un pôle simple en s = −a donne un terme A/(s + a), qui devient A·e^−at dans le temps.

La règle du recouvrement donne chaque coefficient. Pour trouver A, masquez le facteur (s + a) dans F(s) et posez s = −a dans tout ce qui reste.

Exemple : F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Alors A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 et B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Donc f(t) = 2e^−t − e^−4t.

La position d’un pôle indique la forme. Un pôle réel en −3 donne une décroissance pure e^−3t. Une paire complexe −1 ± j2 donne une oscillation amortie, e^−t fois sin 2t ou cos 2t.

• Pôle double (s + a)² : écrivez A/(s + a) + B/(s + a)². Le deuxième terme donne B·t·e^−at. Donc (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t.
• Pôles complexes : mettez sous forme canonique, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Alors 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t.

1. Factorisez le dénominateur et listez les pôles. Pour un trinôme du second degré, trouvez ses racines ou mettez-le sous forme canonique.
2. Écrivez une fraction par pôle : A/s, B/(s + a), etc. Un pôle double reçoit aussi un terme au carré.
3. Trouvez chaque coefficient avec la règle du recouvrement. Gardez les signes des facteurs restants.
4. Retraduisez chaque terme en temps avec la table.
5. Remplacez le temps t (en radians pour le sinus et le cosinus). Vérifiez f(0⁺) et f(∞) avec les théorèmes des valeurs.

5Un exemple détaillé

C’est une question moyenne typique. Essayez chaque étape vous-même avant de l’ouvrir.

6Erreurs fréquentes

• Confondre les théorèmes : s → ∞ donne la valeur de départ f(0⁺), et s → 0 donne la valeur d’arrivée f(∞).
• Oublier le facteur s dans s·F(s), ou ignorer un facteur zéro comme (s + 2) quand on pose s = 0.
• Erreurs de signe dans la règle du recouvrement : en s = −3, le facteur (s + 2) vaut −1, pas 5.
• Utiliser le couple du sinus sans diviser par ω : ω/(s² + ω²) demande ω au numérateur.
• Calculer sin ωt ou cos ωt avec la calculatrice en degrés. L’angle ωt est en radians.
• Utiliser le théorème de la valeur finale quand f(t) ne se stabilise jamais, par exemple F(s) = 1/(s² + 4), qui est un sinus pur.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

• Facile : couples de la table et théorèmes des valeurs. Vous inversez une constante, une exponentielle, t·e^−at, un sinus ou un cosinus et la calculez, ou vous trouvez f(0⁺), f(∞) ou la pente initiale f′(0⁺).
• Moyen : transformées inverses par éléments simples. Vous trouvez un coefficient A, inversez trois pôles simples s(s + a)(s + b), un pôle double, ou des pôles complexes en mettant sous forme canonique.
• Difficile : équations différentielles et fonctions de transfert, par exemple y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) avec des valeurs initiales données. Vous trouvez y à un instant donné.

Pour le niveau difficile, transformez chaque dérivée avec ses conditions initiales :

Résolvez ensuite l’équation algébrique pour Y(s), et inversez-la par éléments simples comme dans l’exemple traité.