Méthode des mailles : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : méthode des courants de maille · loi des mailles · analyse par mailles
Exercices gratuits sur Méthode des mailles avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : 2 mailles, 1 source, 2 mailles, 2 sources, 3 mailles.
Exercice gratuitFacile
Utilisez la méthode des mailles pour trouver le courant IR1 dans R1 dans le sens de la flèche.
L’analyse par mailles est une méthode standard pour trouver les courants d’un circuit. Elle est la partenaire de l’analyse nodale : l’analyse nodale prend les tensions comme inconnues, l’analyse par mailles prend les courants.
Regardez le schéma d’un circuit plan. Les « fenêtres » vides délimitées par les fils et les composants s’appellent des mailles.
On imagine un courant qui tourne autour de chaque fenêtre. Ce sont les courants de maille. Chaque courant de branche réel s’en déduit.
Pensez à une rangée de roues dentées côte à côte. Chaque roue tourne de son côté, et là où deux roues se touchent, on voit la différence entre leurs mouvements.
Auto-évaluation Un schéma de circuit plan comporte trois fenêtres. De combien de courants de maille avez-vous besoin ?
1
2
3
6
Réponse: 3. Un courant de maille par fenêtre, donc trois. On écrit ensuite une équation par maille, soit trois équations au total.
2Loi des mailles de Kirchhoff
Faites une fois le tour d’une boucle fermée et revenez à votre point de départ. Vous retrouvez la même tension qu’au début.
Donc la tension que vous gagnez dans les sources est égale à la tension que vous perdez dans les résistances. C’est la loi des mailles de Kirchhoff (KVL).
Σ élévations de tension = Σ chutes de tension
Une source est une élévation quand on la traverse de − vers +. Une résistance est une chute de I·R quand on la traverse dans le sens de son courant.
Dans cette boucle, la source fournit 12 V. Une résistance prend 8 V, donc l’autre doit prendre les 4 V restants.
Auto-évaluation Une source de 10 V alimente une boucle avec deux résistances. La première a 7 V à ses bornes. Quelle est la tension aux bornes de la seconde ?
10 V
17 V
3 V
7 V
Réponse: 3 V. Les chutes doivent s’additionner pour donner l’élévation de 10 V : 10 − 7 = 3 V. Additionner les tensions (17 V) viole la KVL.
3Courants de maille dans une résistance commune
Dessinez chaque courant de maille dans le sens horaire, avec la même convention de nom : I1, I2, …
Une résistance située à l’extérieur du circuit appartient à une seule maille. Elle est parcourue par ce courant de maille.
Une résistance entre deux fenêtres est commune. Les deux courants de maille la traversent, en sens opposés. Son courant réel est la différence.
IR3 (vers le bas) = I1 − I2
Dans la maille 1, I1 descend dans R3, donc vous écrivez I1 − I2. Dans la maille 2, I2 monte dans R3, donc vous écrivez I2 − I1.
Auto-évaluation Dans le circuit ci-dessus, I1 = 3 A et I2 = 1 A. Quel courant descend dans R3 ?
1 A
2 A
3 A
4 A
Réponse: 2 A. La résistance commune est parcourue par la différence : 3 − 1 = 2 A vers le bas. Additionner les courants de maille (4 A) est l’erreur la plus courante.
4La méthode pas à pas
Comptez les fenêtres. Dessinez un courant de maille horaire dans chacune : I1, I2, …
Parcourez la maille 1 dans le sens horaire. Additionnez les chutes : pour chaque résistance, R fois le courant qui la traverse (son propre courant de maille, ou la différence dans une résistance commune).
Égalez les chutes aux élévations des sources de cette maille. Une source compte + quand on la traverse de − vers +, et − dans l’autre sens.
Recommencez pour chaque maille. Vous obtenez une équation par maille.
Résolvez les équations pour obtenir les courants de maille.
Trouvez le courant de branche ou la tension dont vous avez besoin. Un courant de maille négatif circule dans le sens antihoraire.
Faites toujours le tour dans le même sens que le courant de maille. Ainsi, chaque terme de résistance commence par un signe plus.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Trouvez les courants de maille et le courant IR3 dans R3, dans le sens de la flèche.
1
Définir les courants de maille
Il y a deux fenêtres, donc deux courants de maille horaires, I1 et I2. R3 est commune aux deux.
2
KVL autour de la maille 1
Dans le sens horaire, vous traversez V1 de − vers + : une élévation de 10 V. R1 est parcourue par I1, et R3 par I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL autour de la maille 2
La maille 2 n’a pas de source, donc ses chutes s’additionnent à 0. R2 et R4 sont parcourues par I2, et R3 par I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Résoudre les équations
Remplacez I1 = 2·I2 dans la première équation.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Courant dans R₃
La flèche pointe vers le bas, dans le même sens que I1 dans R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Vérifiez la réponse
Maille 1 : R1 prend 2·2 = 4 V et R3 prend 6·1 = 6 V. Ensemble 10 V, égal à V1.
Maille 2 : R2 et R4 sont parcourues par 1 A et prennent 4 + 2 = 6 V. Cela égale les 6 V aux bornes de R3, comme il se doit, car elles sont entre les deux mêmes nœuds.
Réponse
I1 = 2 A, I2 = 1 A et IR3 = 1 A vers le bas.
6Erreurs fréquentes
Utiliser le courant de maille entier dans une résistance commune. Une résistance commune est parcourue par la différence de deux courants de maille.
Se tromper sur le signe d’une source. Traverser une source de + vers − dans le sens du parcours compte comme une élévation négative.
Parcourir certaines mailles dans le sens antihoraire. Gardez chaque courant de maille et chaque parcours dans le sens horaire.
Oublier qu’un résultat négatif est permis. Cela signifie seulement que le courant circule dans le sens antihoraire.
Auto-évaluation En parcourant la maille 2 dans le sens horaire, vous traversez une source de 6 V de son côté + vers son côté −. La maille 2 contient R2 = 2 Ω et la résistance commune R3 = 4 Ω. Quelle équation est correcte ?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Réponse: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Traverser une source de + vers − est une chute, donc elle compte pour −6 V du côté des élévations. Dans la maille 2, la résistance commune est parcourue par I2 − I1, pas par I2 seul ni par I1 − I2.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : deux mailles et une source de tension, comme dans l’exemple résolu. La maille 2 n’a pas de source, donc son équation est égale à 0.
Moyen : deux mailles et deux sources de tension, une de chaque côté. Faites attention au signe de la source de droite dans la maille 2.
Difficile : trois mailles, avec deux résistances communes. La maille du milieu partage une résistance avec chaque voisine.
La question demande un courant de maille, le courant dans une résistance dans le sens de la flèche, ou la tension aux bornes d’une résistance avec la polarité indiquée.
Pour une tension, trouvez d’abord le courant dans la résistance, puis utilisez V = I·R.
Utilisez la méthode des mailles pour trouver le courant IR2 dans R2 dans le sens de la flèche.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Calculer IR2(A)
Afficher les indices
Il y a 2 fenêtres : définissez 2 courants de maille dans le sens horaire (I1, I2) et écrivez une équation de maille par maille.
Dans la maille 1, chaque résistance est parcourue par I1, sauf une résistance commune, parcourue par I1 − I2.
La résolution donne I1 = 0,95 A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des mailles : donnez à chaque fenêtre d’un circuit plan son propre courant de boucle, écrivez la loi des mailles de Kirchhoff sur chaque boucle (somme des chutes = somme des élévations) et résolvez. Les courants de branche sont le courant de maille, ou la différence de deux courants de maille sur une branche commune.
Définir les courants de maille
Tracez un courant dans le sens horaire dans chaque fenêtre : I1, I2. Une résistance commune à deux mailles est parcourue par la différence de leurs courants.
Loi des mailles dans la maille 1
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
Loi des mailles dans la maille 2
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Résoudre
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Réponse
IR2 = I2 = 0,15 A
Un courant de maille négatif circule dans le sens antihoraire.
Exemple 2Moyen
Utilisez la méthode des mailles pour trouver le courant de maille I1 (sens horaire).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Calculer I1(A)
Afficher les indices
Il y a 2 fenêtres : définissez 2 courants de maille dans le sens horaire (I1, I2) et écrivez une équation de maille par maille.
Dans la maille 1, chaque résistance est parcourue par I1, sauf une résistance commune, parcourue par I1 − I2.
La résolution donne I1 = −0,3387 A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des mailles : donnez à chaque fenêtre d’un circuit plan son propre courant de boucle, écrivez la loi des mailles de Kirchhoff sur chaque boucle (somme des chutes = somme des élévations) et résolvez. Les courants de branche sont le courant de maille, ou la différence de deux courants de maille sur une branche commune.
Définir les courants de maille
Tracez un courant dans le sens horaire dans chaque fenêtre : I1, I2. Une résistance commune à deux mailles est parcourue par la différence de leurs courants.
Loi des mailles dans la maille 1
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
Loi des mailles dans la maille 2
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Résoudre
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Réponse
I1 = −0,3387 A
Un courant de maille négatif circule dans le sens antihoraire.
Exemple 3Difficile
Utilisez la méthode des mailles pour trouver le courant IR4 dans R4 dans le sens de la flèche.
Il y a 3 fenêtres : définissez 3 courants de maille dans le sens horaire (I1, I2, I3) et écrivez une équation de maille par maille.
Dans la maille 1, chaque résistance est parcourue par I1, sauf une résistance commune, parcourue par I1 − I2.
La résolution donne I1 = 1,135 A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des mailles : donnez à chaque fenêtre d’un circuit plan son propre courant de boucle, écrivez la loi des mailles de Kirchhoff sur chaque boucle (somme des chutes = somme des élévations) et résolvez. Les courants de branche sont le courant de maille, ou la différence de deux courants de maille sur une branche commune.
Définir les courants de maille
Tracez un courant dans le sens horaire dans chaque fenêtre : I1, I2, I3. Une résistance commune à deux mailles est parcourue par la différence de leurs courants.
Loi des mailles dans la maille 1
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
Loi des mailles dans la maille 2
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
Loi des mailles dans la maille 3
En tournant dans le sens horaire, les chutes de tension dans les résistances égalent les élévations de tension des sources (de − vers + dans le sens du parcours).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Résoudre
Δ = déterminant de la matrice des coefficients = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Réponse
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Un courant de maille négatif circule dans le sens antihoraire.
Questions et réponses
Méthode des mailles : de quoi s’agit-il ?
L’analyse par mailles est une méthode standard pour trouver les courants d’un circuit. Elle est la partenaire de l’analyse nodale : l’analyse nodale prend les tensions comme inconnues, l’analyse par mailles prend les courants.
Regardez le schéma d’un circuit plan. Les « fenêtres » vides délimitées par les fils et les composants s’appellent des mailles.
Méthode des mailles : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Dessinez un courant dans le sens horaire dans chaque maille (fenêtre) du circuit.
Appliquez la loi des mailles de Kirchhoff à chaque maille : la somme des chutes de tension est nulle.
Dans une résistance commune à deux mailles, le courant est la différence des deux courants de maille.
Résolvez les équations ; un résultat négatif signifie que le courant circule dans l’autre sens.
Méthode des mailles : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Utiliser le courant de maille entier dans une résistance commune.
Se tromper de signe pour une source en parcourant la maille.
Oublier qu’une source de courant dans une branche extérieure impose le courant de cette maille.
Méthode des mailles : que couvrent les exercices ?
Facile: 2 mailles, 1 source
Moyen: 2 mailles, 2 sources
Difficile: 3 mailles
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.