Transitoires RC et RL : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : circuit RC · charge et décharge d’un condensateur · régime transitoire
Exercices gratuits sur Transitoires RC et RL avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : charge d’un circuit RC, circuit RL, condensateur préchargé.
Exercice gratuitFacile
Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 10 ms.
Quand vous fermez un interrupteur dans un circuit ne comportant que des résistances, tous les courants passent immédiatement à leur nouvelle valeur.
Un condensateur ou une bobine change cela. Ils stockent de l’énergie, et l’énergie stockée ne peut pas varier en un temps nul. Le circuit passe donc progressivement de l’ancien état au nouveau.
Ce changement progressif s’appelle un régime transitoire. Au bout d’un moment, le circuit se stabilise et plus rien ne change.
Pensez à un seau que l’on remplit avec un tuyau étroit. Le seau est le condensateur, le tuyau étroit est la résistance. Le niveau monte vite au début, puis de plus en plus lentement à mesure que le seau se remplit.
Auto-évaluation Un condensateur déchargé est relié à une source de 12 V par une résistance. Quelle est la tension du condensateur juste après la fermeture de l’interrupteur ?
0 V
12 V
4,4 V
6 V
Réponse: 0 V. La tension d’un condensateur ne peut pas sauter. Elle valait 0 V juste avant la fermeture de l’interrupteur, donc elle vaut encore 0 V juste après. Elle n’atteint 12 V qu’après un long moment.
2Condensateurs et bobines au début et à la fin
Il suffit de deux règles pour chaque composant : ce qui ne peut pas sauter, et comment il se comporte une fois tout stabilisé.
Condensateur : sa tension vC ne peut pas sauter. Bien après la commutation, aucun courant ne le traverse, il se comporte donc comme un circuit ouvert (une coupure).
Bobine : son courant iL ne peut pas sauter. Bien après la commutation, il n’y a pas de tension à ses bornes, elle se comporte donc comme un court-circuit (un fil).
La valeur juste après la commutation est la valeur initiale, x(0). La valeur après stabilisation est la valeur finale, x(∞).
Pour un condensateur qui se charge à partir d’une source Vs : vC(0) = 0 et vC(∞) = Vs. Pour une bobine : i(0) = 0 et i(∞) = Vs/R.
Auto-évaluation Une source de 12 V alimente une résistance de 20 Ω en série avec une bobine. Quel courant circule bien après la fermeture de l’interrupteur ?
0 A
0,6 A
1,67 A
240 A
Réponse: 0,6 A. Une fois stabilisée, la bobine est un simple fil, donc seule la résistance limite le courant : 12/20 = 0,6 A. Le 0 A est la valeur juste après la commutation, pas à la fin.
3La constante de temps
La rapidité du changement est fixée par un seul nombre, la constante de temps τ (tau).
τ = R·C τ = L/R
Unités : kΩ fois µF donne des millisecondes. mH divisé par Ω donne aussi des millisecondes.
Chaque tension et chaque courant suit la même courbe exponentielle entre sa valeur initiale et sa valeur finale :
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Après 1τ, le changement est accompli à 63 %. Après 2τ, à 86 %, après 3τ à 95 %.
Après environ 5τ, le circuit est stabilisé à toutes fins pratiques.
Pour un condensateur qui se charge à partir de 0 V, la formule devient :
vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
Auto-évaluation Quelle est la constante de temps d’une résistance de 4,7 kΩ avec un condensateur de 10 µF ?
0,47 ms
2,13 ms
47 ms
47 s
Réponse: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms, car kΩ fois µF donne des millisecondes. Diviser au lieu de multiplier donne 2,13 ms.
4La méthode pas à pas
Trouvez la valeur initiale x(0) juste après la commutation. Utilisez la règle : vC et iL ne peuvent pas sauter.
Trouvez la valeur finale x(∞). Remplacez un condensateur par une coupure et une bobine par un fil, puis résolvez le circuit en continu.
Trouvez la constante de temps : τ = R·C ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Reportez les trois valeurs dans x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Remplacez le temps t, dans la même unité que τ, et calculez.
Si la question demande un temps, résolvez la même formule pour t. Vous aurez besoin du logarithme népérien, ln.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Le condensateur est déchargé quand l’interrupteur se ferme à t = 0. Trouvez la constante de temps et la tension vC du condensateur à t = 100 ms.
1
Observez le circuit
L’interrupteur relie Vs = 10 V au condensateur par R = 10 kΩ. C = 10 µF.
2
Valeur initiale et valeur finale
Le condensateur est déchargé et sa tension ne peut pas sauter, donc vC(0) = 0 V.
Bien après, aucun courant ne circule, donc il n’y a pas de tension aux bornes de R. Les 10 V se trouvent tous aux bornes de C.
vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3
Constante de temps
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4
Tension à t = 100 ms
Ici t vaut exactement une constante de temps, donc t/τ = 1.
vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5
Vérifiez la réponse
Après une constante de temps, le condensateur doit être chargé à 63 %. 63 % de 10 V font 6,3 V, donc la réponse est cohérente.
Elle est aussi inférieure à la source de 10 V, comme il se doit pour un condensateur qui se charge.
Réponse
τ = 100 ms et vC = 6,32 V à t = 100 ms.
6Erreurs fréquentes
Utiliser la formule de charge Vs·(1 − e−t/τ) alors que le condensateur possède déjà une tension. Utilisez la formule générale avec x(0).
Mélanger les unités : kΩ fois µF donne des millisecondes, pas des secondes. Gardez t et τ dans la même unité.
Répondre Vs·e−t/τ. C’est la partie qui manque encore (ou la tension de la résistance), pas la tension du condensateur.
Utiliser la mauvaise résistance dans τ. Utilisez la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Auto-évaluation Un condensateur est à 4 V quand on le branche sur une source de 10 V. Quelle est vC après une constante de temps ? (e−1 ≈ 0,368)
10,32 V
2,21 V
6,32 V
7,79 V
Réponse: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. La formule de charge seule donne 6,32 V, ce qui ignore les 4 V de départ. 2,21 V est la partie qui manque encore.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : charge RC à partir de 0 V, comme dans l’exemple. Vous trouvez τ ou la tension du condensateur à un instant donné.
Moyen : un circuit RL dont le courant de la bobine part de 0. Vous trouvez i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ), la tension de la bobine vL = Vs·e−t/τ, ou le temps pour atteindre un pourcentage du courant final.
Difficile : un condensateur qui possède déjà une tension. Vous trouvez vC à un instant donné, ou le temps pour atteindre une tension donnée.
Pour trouver un temps, réarrangez la formule générale :
t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]
Avec τ = L/R, mH divisé par Ω donne des ms. Ainsi une bobine de 50 mH avec 10 Ω a τ = 5 ms.
Le condensateur a été chargé à 5 V. À t = 0, l’interrupteur se ferme et le condensateur se décharge à travers R. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 50 ms.
vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms
Calculer vC(V)
Afficher les indices
Un circuit RC du premier ordre a une constante de temps τ = RC. Avec R en kΩ et C en µF, τ sort en ms.
Sans source, la tension du condensateur décroît vers zéro : vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
τ = 68 ms.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps
Des kΩ multipliés par des µF donnent des millisecondes.
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
Courbe de décharge
Le condensateur part de sa tension de charge et décroît vers 0 V.
vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V
Réponse
vC = 2,397 V
Exemple 2Moyen
La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Combien de temps après la fermeture de l’interrupteur le courant atteint-il 75 % de sa valeur finale ? Trouvez t.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH
Calculer t(ms)
Afficher les indices
Pour un circuit RL, τ = L/R. Avec L en mH et R en Ω, τ sort en ms.
Juste après la fermeture, le courant dans la bobine est encore nul ; longtemps après, la bobine agit comme un court-circuit, donc i(∞) = Vs/R.
τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Constante de temps et courant final
Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.
τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Isoler le temps
0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms
Réponse
t = 4,159 ms
Exemple 3Difficile
Juste avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0, le condensateur est chargé à 18 V avec la polarité indiquée. Combien de temps faut-il à vC pour atteindre 8,4 V ? Trouvez t.
Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
Calculer t(ms)
Afficher les indices
Utilisez la solution générale du premier ordre x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Ici x(0) est la tension stockée dans le condensateur et x(∞) la tension de la source, car aucun courant ne traverse le condensateur une fois le régime établi.
τ = 100 ms.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.
Valeur initiale, valeur finale, constante de temps
La tension d’un condensateur ne peut pas sauter : elle part de sa valeur stockée et tend vers la tension de la source.
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms
Réponse
t = 160,9 ms
Questions et réponses
Transitoires RC et RL : de quoi s’agit-il ?
Quand vous fermez un interrupteur dans un circuit ne comportant que des résistances, tous les courants passent immédiatement à leur nouvelle valeur.
Un condensateur ou une bobine change cela. Ils stockent de l’énergie, et l’énergie stockée ne peut pas varier en un temps nul. Le circuit passe donc progressivement de l’ancien état au nouveau.
Transitoires RC et RL : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Transitoires RC et RL : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Utiliser la formule de charge pour un circuit en décharge.
Mélanger les unités : des kΩ multipliés par des µF donnent des ms, pas des s.
Utiliser la mauvaise résistance dans la constante de temps.
Transitoires RC et RL : que couvrent les exercices ?
Facile: charge d’un circuit RC
Moyen: circuit RL
Difficile: condensateur préchargé
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.