Erreur en régime permanent et commande PID : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Erreur en régime permanent et commande PID avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : classe du système et constantes d’erreur, erreurs en régime permanent et gain, conception P, PI et PD.

Exercice gratuitFacile
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Trouvez la constante d’erreur de vitesse Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
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Ce que vous travaillez

  1. Facileclasse du système et constantes d’erreur
  2. Moyenerreurs en régime permanent et gain
  3. Difficileconception P, PI et PD

Comment résoudre les exercices de Erreur en régime permanent et commande PID

  1. Comptez les pôles de la boucle ouverte C(s)·G(s) en s = 0 : c’est la classe du système.
  2. Calculez la constante d’erreur qui correspond à l’entrée : Kp pour un échelon, Kv pour une rampe, Ka pour une parabole.
  3. Appliquez ess = A/(1 + Kp), A/Kv ou A/Ka, ou résolvez pour le gain nécessaire.
  4. Pour une spécification d’amortissement ou de vitesse, écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée et identifiez-le à s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Erreurs fréquentes

  • Utiliser A/Kp au lieu de A/(1 + Kp) pour un échelon.
  • Oublier le gain du procédé en identifiant les coefficients : le gain de boucle est K multiplié par le gain du procédé.
  • Ignorer l’intégrateur du régulateur en comptant la classe du système.
  • Croire qu’un gain proportionnel seul supprime l’erreur sur un échelon dans une boucle de classe 0.

Formules clés

Classe du système
nombre de pôles de G(s) en s = 0
Constantes d’erreur
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Échelon A
ess = A/(1 + Kp)
Rampe A·t
ess = A/Kv
Parabole A·t²/2
ess = A/Ka
Régulateur PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Cible du second ordre
s² + 2ζωns + ωn²
Dépassement et temps de réponse
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Apprendre Erreur en régime permanent et commande PID depuis zéro

Avant cela : Schémas fonctionnels, Réponse indicielle

1Suivre une consigne

Une boucle de rétroaction compare la consigne r à la sortie y et agit sur l’erreur e = r − y. Idéalement, la sortie finit exactement à la valeur de la consigne.

Souvent, ce n’est pas le cas. Une fois le régime transitoire terminé, un écart peut subsister : l’erreur en régime permanent ess.

tyress​

La valeur de ess dépend du type d’entrée (échelon, rampe ou parabole) et du nombre d’intégrateurs que contient la boucle.

Auto-évaluation Une boucle à retour unitaire reçoit r = 1 et sa sortie se stabilise à y = 0,95. Quelle est l’erreur en régime permanent ?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Réponse: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. La sortie elle-même vaut 0,95, et le signe est positif car la sortie reste inférieure à la consigne.

2Classe du système et constantes d’erreur

La classe du système est le nombre de pôles de la boucle ouverte G(s) en s = 0, c’est-à-dire le nombre d’intégrateurs. G(s) = 10/(s(s + 5)) en a un, donc elle est de classe 1.

Trois constantes d’erreur résument G(s) aux très basses fréquences (s → 0) :

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

Avec le théorème de la valeur finale, elles donnent l’erreur pour chaque entrée :

échelon A : A/(1 + Kp) rampe A·t : A/Kv parabole A·t²/2 : A/Ka
  • Classe 0 : erreur finie sur un échelon, erreur infinie sur une rampe.
  • Classe 1 : erreur nulle sur un échelon, erreur finie sur une rampe.
  • Classe 2 : erreur nulle sur un échelon et sur une rampe, erreur finie sur une parabole.
Auto-évaluation Quelle est la constante d’erreur de vitesse Kv de G(s) = 10/(s(s + 5)) ?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Réponse: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), ce qui vaut 10/5 = 2 en s = 0. La valeur 0,5 est l’erreur sur la rampe 1/Kv, et non la constante.

3La méthode pas à pas

  1. Écrivez la boucle ouverte : le régulateur multiplié par le procédé, C(s)·G(s).
  2. Comptez ses pôles en s = 0 pour obtenir la classe du système.
  3. Choisissez la constante d’erreur qui correspond à l’entrée : Kp pour un échelon, Kv pour une rampe, Ka pour une parabole.
  4. Évaluez la limite : simplifiez les facteurs s, puis posez s = 0 dans ce qui reste.
  5. Appliquez la formule de l’erreur, ou résolvez-la pour le gain qui donne l’erreur demandée.

Pour une spécification d’amortissement ou de vitesse, écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée et identifiez-le à s² + 2ζωns + ωn².

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une boucle à retour unitaire a pour fonction G(s) = K/(s(s + 4)). Elle doit suivre la rampe r(t) = 2t avec une erreur en régime permanent de 0,1. Trouvez K et le coefficient d’amortissement qui en résulte.

1

Trouvez la classe du système

r+eK1/(s(s + 4))y−

G(s) a un pôle en s = 0, donc la boucle est de classe 1 : une rampe donne une erreur finie.

2

Constante de vitesse

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv requis

La pente de la rampe est A = 2, donc ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Gain

K = 4·Kv = 80
5

Vérifiez l’amortissement

Le polynôme caractéristique est s² + 4s + 80, donc ωn = √80 = 8,94 rad/s et ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

L’erreur est respectée, mais la réponse indicielle dépasse d’environ 49 %. Ce compromis explique pourquoi les régulateurs sont plus qu’un simple gain.

Réponse

K = 80, ce qui donne ζ = 0,22.

5Régulateurs P, PI et PID

Le régulateur PID combine trois actions sur l’erreur :

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Proportionnelle (Kp) : une boucle plus rapide et une erreur plus petite pour un procédé de classe 0, mais l’erreur sur un échelon n’atteint jamais zéro.
  • Intégrale (Ki/s) : ajoute un pôle en s = 0, donc la classe augmente d’une unité et un échelon est suivi sans erreur.
  • Dérivée (Kd·s) : ajoute de l’amortissement et réduit le dépassement.

Pour choisir les gains, identifiez les coefficients. Un régulateur PI sur G(s) = 2/(s + 3) donne le polynôme caractéristique s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Pour ωn = 5 rad/s et ζ = 0,8, la cible est s² + 8s + 25 :

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Auto-évaluation Un intégrateur est ajouté au régulateur d’une boucle de classe 0. Que devient l’erreur en régime permanent pour un échelon unitaire ?
  1. Elle augmente
  2. Elle devient infinie
  3. Elle devient nulle
  4. Elle diminue mais n’est pas nulle

Réponse: Elle devient nulle. L’intégrateur rend la boucle de classe 1, donc Kp est infini et A/(1 + Kp) = 0. Un gain proportionnel plus grand ne ferait que réduire l’erreur.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser A/Kp au lieu de A/(1 + Kp) pour un échelon.
  • Oublier le gain du procédé en identifiant les coefficients : le gain de boucle est le gain du régulateur multiplié par le gain du procédé.
  • Ne compter que les intégrateurs du procédé et oublier celui d’un régulateur PI.
  • Omettre les zéros en évaluant Kv : un facteur (s + 3) vaut 3 en s = 0.
Auto-évaluation Un échelon d’amplitude 5 est appliqué à une boucle de classe 0 avec Kp = 9. Quelle est l’erreur en régime permanent ?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Réponse: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Diviser par Kp seul donne 0,556, oublier l’amplitude de l’échelon donne 0,1, et 4,5 est la sortie finale.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : classe du système et constantes d’erreur. Vous trouvez la classe, Kp, Kv ou Ka d’une fonction de transfert, une erreur sur un échelon, ou la sortie finale d’une boucle avec commande P.
  • Moyen : erreurs en régime permanent et gain. Vous trouvez l’erreur pour une rampe, une parabole ou un échelon plus une rampe, ou le gain qui donne une erreur requise.
  • Difficile : conception P, PI et PD. Vous choisissez K pour un coefficient d’amortissement, trouvez le dépassement, le temps de pic ou le temps d’établissement pour un K donné, choisissez les gains PI ou PD en identifiant les coefficients, ou trouvez l’erreur sur une rampe avec un régulateur PI.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Trouvez la constante d’erreur d’accélération Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Calculer Ka

Afficher les indices
  1. K_a = lim s²·G(s) lorsque s → 0.
  2. Le s² annule le pôle double à l’origine.
  3. Ka = 2·2/2.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Erreur en régime permanent : dans une boucle à retour unitaire de fonction de transfert en boucle ouverte G(s), l’erreur est E(s) = R(s)/(1 + G(s)), et d’après le théorème de la valeur finale ess = lims→0 s·E(s). La classe du système est le nombre de pôles de G(s) en s = 0. Les constantes d’erreur sont Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) et Ka = lim s²·G(s), toutes pour s → 0. Un échelon d’amplitude A donne ess = A/(1 + Kp), une rampe A·t donne A/Kv et une parabole A·t²/2 donne A/Ka. Une boucle de classe 0 suit un échelon avec une erreur finie ; une boucle de classe 1 le suit exactement et suit une rampe avec une erreur finie.

Constante d’accélération

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Réponse

Ka = 2
Exemple 2Moyen
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Trouvez le gain K qui donne une erreur en régime permanent de 2 % pour une entrée en échelon.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Calculer K

Afficher les indices
  1. Pour un échelon unitaire, e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Erreur en régime permanent : dans une boucle à retour unitaire de fonction de transfert en boucle ouverte G(s), l’erreur est E(s) = R(s)/(1 + G(s)), et d’après le théorème de la valeur finale ess = lims→0 s·E(s). La classe du système est le nombre de pôles de G(s) en s = 0. Les constantes d’erreur sont Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) et Ka = lim s²·G(s), toutes pour s → 0. Un échelon d’amplitude A donne ess = A/(1 + Kp), une rampe A·t donne A/Kv et une parabole A·t²/2 donne A/Ka. Une boucle de classe 0 suit un échelon avec une erreur finie ; une boucle de classe 1 le suit exactement et suit une rampe avec une erreur finie.

Constante d’erreur requise

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Gain

K/10 = 49 → K = 490

Réponse

K = 490

Vérifiez aussi la stabilité en boucle fermée : pour cette boucle du second ordre, tout K > 0 est stable.

Exemple 3Difficile
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Un régulateur proportionnel K = 8 commande le procédé G(s) = 5/(s(s + 2)) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le temps de réponse à 2 % ts de la réponse indicielle, avec ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Calculer ts (s)

Afficher les indices
  1. Le polynôme caractéristique est s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ est la moitié du coefficient de s : 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Commande P, PI et PID : le régulateur C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s agit sur l’erreur. Un gain proportionnel rend la boucle plus rapide et réduit l’erreur d’un procédé de classe 0, mais ne la supprime jamais. Le terme intégral ajoute un pôle en s = 0 : la classe du système augmente d’une unité, et un échelon est suivi sans erreur. Le terme dérivé ajoute de l’amortissement. Pour choisir les gains, écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée et comparez-le à s² + 2ζωns + ωn². On a alors %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd avec ωd = ωn√(1 − ζ²), et ts ≈ 4/(ζωn).

Polynôme caractéristique

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ et ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Temps de réponse

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Réponse

ts = 4 s

Le temps d’établissement ne dépend pas de K ici : augmenter K ne fait qu’accélérer les oscillations de la réponse.

Questions et réponses

Erreur en régime permanent et commande PID : de quoi s’agit-il ?

Une boucle de rétroaction compare la consigne r à la sortie y et agit sur l’erreur e = r − y. Idéalement, la sortie finit exactement à la valeur de la consigne.

Souvent, ce n’est pas le cas. Une fois le régime transitoire terminé, un écart peut subsister : l’erreur en régime permanent ess.

Erreur en régime permanent et commande PID : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Comptez les pôles de la boucle ouverte C(s)·G(s) en s = 0 : c’est la classe du système.
  2. Calculez la constante d’erreur qui correspond à l’entrée : Kp pour un échelon, Kv pour une rampe, Ka pour une parabole.
  3. Appliquez ess = A/(1 + Kp), A/Kv ou A/Ka, ou résolvez pour le gain nécessaire.
  4. Pour une spécification d’amortissement ou de vitesse, écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée et identifiez-le à s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Erreur en régime permanent et commande PID : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utiliser A/Kp au lieu de A/(1 + Kp) pour un échelon.
  • Oublier le gain du procédé en identifiant les coefficients : le gain de boucle est K multiplié par le gain du procédé.
  • Ignorer l’intégrateur du régulateur en comptant la classe du système.
  • Croire qu’un gain proportionnel seul supprime l’erreur sur un échelon dans une boucle de classe 0.
Erreur en régime permanent et commande PID : que couvrent les exercices ?
  • Facile: classe du système et constantes d’erreur
  • Moyen: erreurs en régime permanent et gain
  • Difficile: conception P, PI et PD

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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Schémas fonctionnelsRéponse indicielle

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