Automatique 2 : conception de la commande par rétroaction : exercices et sujets d’examen

Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jω_d avec ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, temps du premier pic t_p = π/ω_d, et temps de réponse à 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ω_c = 1/(RC) ou R/L, et f_c = ω_c/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) et φ = −atan(ω/ω_c). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ω_c : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsation de croisement de phase ω₁₈₀ : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.