Diagrammes de Bode et marges : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : diagramme de Bode · marge de phase · marge de gain

Exercices gratuits sur Diagrammes de Bode et marges avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : filtres et asymptotes, module et phase, marges de stabilité.

Exercice gratuitFacile
vin​C = 4,7 nFR = 10 kΩvout​

Trouvez la fréquence de coupure (−3 dB) fc du filtre passe-haut RC représenté, avec R = 10 kΩ, C = 4,7 nF. Donnez-la en Hz.

R = 10 kΩC = 4,7 nF
Hz
Exercice suivant →
S’entraîner gratuitement en Diagrammes de Bode et margesS’entraîner en Diagrammes de Bode et marges maintenant5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Ce que vous travaillez

  1. Facilefiltres et asymptotes
  2. Moyenmodule et phase
  3. Difficilemarges de stabilité

Apprendre Diagrammes de Bode et marges depuis zéro

Avant cela : Impédance et phaseurs en alternatif, Transformées de Laplace

1Ce que montre un diagramme de Bode

Envoyez une sinusoïde dans un filtre ou un amplificateur, et une sinusoïde de la même fréquence en sort. Seules deux choses changent : sa taille et son décalage dans le temps.

tvvin​vout​

Le gain |H| est le rapport de l’amplitude de sortie à l’amplitude d’entrée. La phase φ est le décalage de la sortie, en degrés. Une phase négative signifie que la sortie est en retard.

Les deux dépendent de la fréquence. Un diagramme de Bode les trace en fonction de la fréquence : le gain en décibels en haut, la phase en bas. L’axe des fréquences est logarithmique, donc chaque décade (×10) a la même largeur.

Les décibels transforment un rapport en un nombre que l’on peut additionner :

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • Un gain de 1 vaut 0 dB, 10 vaut 20 dB, 100 vaut 40 dB, et 0,1 vaut −20 dB.
  • Un gain de 1/√2 ≈ 0,707 vaut −3 dB. C’est la limite de la bande passante d’un filtre.
Auto-évaluation Un amplificateur a un gain de 100. Quel est son gain en décibels ?
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

Réponse: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. 20 dB utilise 10·log₁₀, qui sert aux rapports de puissances, pas de tensions. 2 n’est que log₁₀(100).

2Filtres du premier ordre

Une résistance avec un condensateur ou une bobine forme le filtre le plus simple. Un filtre passe-bas laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes. Un filtre passe-haut fait l’inverse.

vin​RCvout​vin​CRvout​

Dans le filtre RC passe-bas (à gauche), la sortie est prise aux bornes du condensateur. Dans le filtre RC passe-haut (à droite), elle est prise aux bornes de la résistance. Avec une bobine, la sortie d’un filtre passe-bas est aux bornes de R, et celle d’un filtre passe-haut aux bornes de L.

Le changement se produit autour de la fréquence de coupure, où le gain vaut −3 dB. Elle est la même pour la version passe-bas et la version passe-haut :

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc est en rad/s et fc en Hz. Mettez d’abord R, C et L en unités de base : Ω, F et H.

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0,010,1110100ω/ωc​

Le tracé montre un filtre passe-bas. En dessous de ωc, le gain est d’environ 0 dB. Au-dessus, le gain chute de 20 dB par décade. La phase va de 0° à −90° et vaut −45° à la fréquence de coupure.

À toute fréquence, avec le rapport x = f/fc = ω/ωc :

  • Passe-bas : |H| = 1/√(1 + x²) et φ = −atan x.
  • Passe-haut : |H| = x/√(1 + x²) et φ = 90° − atan x.
Exemple détaillé

Trouvez la fréquence de coupure fc d’un filtre RL passe-haut avec R = 470 Ω et L = 47 mH.

1

Unités de base

L = 47 mH = 0,047 H
2

Fréquence de coupure en rad/s

ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3

Fréquence de coupure en Hz

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
Réponse

fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).

Auto-évaluation Un filtre RC passe-bas a R = 1 kΩ et C = 1 µF. Quelle est sa fréquence de coupure fc ?
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

Réponse: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s, donc fc = 1000/(2π) = 159 Hz. 1000 est ωc en rad/s, pas en Hz. 6283 multiplie par 2π, et 159 kHz oublie le k de kΩ.

3Diagrammes de Bode asymptotiques

Pour une fonction de transfert G(s), vous pouvez tracer le module avec des segments de droite. Chaque facteur change la pente à sa propre fréquence de coupure.

  • Un facteur de pôle (s + p) au dénominateur fait fléchir la droite vers le bas de 20 dB/décade à partir de ω = p.
  • Un facteur de zéro (s + z) au numérateur la fait fléchir vers le haut de 20 dB/décade à partir de ω = z.
  • Un facteur s au dénominateur (un intégrateur) donne −20 dB/décade à toutes les fréquences, et −90° de phase.
  • Sans intégrateur, le tracé commence à plat au gain statique G(0), converti en dB.
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

La figure montre G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10, donc le tracé commence à 20 dB. Il passe à −20 dB/décade à 10 rad/s et à −40 dB/décade à 100 rad/s.

Pour trouver la pente dans une bande : partez de −20 dB/décade par intégrateur, puis ajoutez −20 pour chaque pôle et +20 pour chaque zéro situé en dessous de cette bande.

Auto-évaluation G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). Quelle est la pente du tracé asymptotique entre 5 et 50 rad/s ?
  1. 0 dB/décade
  2. −20 dB/décade
  3. −40 dB/décade
  4. −60 dB/décade

Réponse: −40 dB/décade. L’intégrateur donne −20 dès le départ. Le pôle en 5 ajoute −20, donc la pente est de −40 entre 5 et 50. Le zéro en 50 la ramène à −20 au-dessus de 50. −60 traite le zéro comme un pôle.

4Valeurs exactes à une fréquence

Les segments de droite ne sont qu’une esquisse. Pour une valeur exacte, remplacez s = jω. Chaque facteur (jω + a) est un nombre complexe avec :

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

Le module de G est le produit des modules du numérateur divisé par le produit des modules du dénominateur. La phase est la somme des angles du numérateur moins la somme des angles du dénominateur.

Exemple : G(s) = 150/((s + 3)(s + 4)) à ω = 4 rad/s. |j4 + 3| = 5 et |j4 + 4| = 5,657, donc |G| = 150/28,28 = 5,30, soit 14,5 dB.

La phase est −atan(4/3) − atan(4/4) = −53,1° − 45° = −98,1°.

Un circuit RLC série avec la sortie aux bornes de R est un filtre passe-bande. Il laisse passer les fréquences proches de la pulsation de résonance ω₀ = 1/√(LC). La bande passante est BW = R/L en rad/s, et le facteur de qualité Q = ω₀/BW.

  1. Écrivez G(s) ou H(jω). Pour un filtre RC ou RL, trouvez d’abord ωc et le rapport x = ω/ωc.
  2. Pour chaque facteur, trouvez son module √(ω² + a²) et son angle atan(ω/a).
  3. Multipliez et divisez les modules. Additionnez les angles des zéros et soustrayez ceux des pôles ; un intégrateur ajoute −90°.
  4. Convertissez le module en dB avec 20·log₁₀.
  5. Comparez avec le tracé asymptotique : la valeur exacte doit en être proche, et 3 dB en dessous pour une seule fréquence de coupure.

5Un exemple détaillé

C’est une question moyenne typique. Essayez chaque étape avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un filtre RC passe-bas a R = 10 kΩ et C = 100 nF. On applique une sinusoïde de 480 Hz. Trouvez le gain |H| en dB et le déphasage φ.

1

Fréquence de coupure

Utilisez les unités de base : R = 10 000 Ω et C = 0,0000001 F.

ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2

Rapport de fréquences

x = f/fc = 480/159,2 = 3,016

L’entrée est au-dessus de la fréquence de coupure, attendez-vous donc à une nette perte de gain.

3

Gain

|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4

Phase

Un filtre passe-bas fait retarder la sortie, donc la phase est négative.

φ = −atan(3,016) = −71,7°
5

Vérifiez la réponse

0−20−40dB−20 dB/dec−10,0 dB0,010,1110100ω/ωc​

Le tracé asymptotique donne −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB, proche de la valeur exacte −10,0 dB.

Réponse

|H| ≈ −10,0 dB et φ ≈ −71,7°.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser 10·log₁₀ pour un gain en tension. Les gains de signaux utilisent 20·log₁₀.
  • Confondre ω et f. ωc = 1/(RC) est en rad/s ; divisez par 2π pour obtenir des Hz.
  • Utiliser L/R pour la fréquence de coupure d’un RL. L/R est la constante de temps ; la pulsation de coupure est ωc = R/L.
  • Additionner des modules comme ω + a. Le module de jω + a est √(ω² + a²).
  • Oublier l’intégrateur : 1/s donne −20 dB/décade et −90° à toutes les fréquences.
  • Donner la valeur asymptotique quand la question demande le module exact.
Auto-évaluation Quel est le gain statique de G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) en dB ?
  1. 16,0 dB
  2. 32,0 dB
  3. 40 dB
  4. 52,0 dB

Réponse: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40, et 20·log₁₀(40) = 32,0 dB. 16,0 dB utilise 10·log₁₀. 40 est le rapport, pas des dB. 52,0 dB oublie de poser s = 0 au dénominateur.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : filtres et asymptotes. La fréquence de coupure d’un filtre RC ou RL en Hz ou en rad/s, la pente d’un tracé asymptotique dans une bande, ou le gain statique en dB.
  • Moyen : module et phase. Le gain en dB ou la phase d’un filtre à une fréquence donnée, le |G(jω)| ou l’∠G(jω) exact d’une fonction de transfert, ou f₀, BW ou Q d’un filtre RLC passe-bande.
  • Difficile : marges de stabilité d’une boucle L(s), comme 85/(s(s + 5)) ou K/(s(s + a)(s + b)).

Pour le niveau difficile, il faut deux fréquences. À la fréquence de croisement du gain ωc, |L(jω)| = 1 (0 dB). À la fréquence de croisement de la phase ω180, ∠L(jω) = −180°.

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

Pour L(s) = K/(s(s + a)(s + b)), le croisement de phase est à ω180 = √(a·b). Une boucle est stable quand les deux marges sont positives.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
|H| (dB)0,11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

Trouvez le gain à basse fréquence (continu) de G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) en décibels, |G(0)| en dB.

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

Calculer |G(0)| (dB)

Afficher les indices
  1. À très basse fréquence, s → 0.
  2. G(0) = 0,3.
  3. 20·log₁₀(0,3).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ωc = 1/(RC) ou R/L, et fc = ωc/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) et φ = −atan(ω/ωc). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ωc : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsation de croisement de phase ω180 : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Gain statique

G(0) = 0,3

En décibels

20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB

Réponse

|G(0)| = −10,46 dB
Exemple 2Moyen
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

Le filtre passe-bas RC représenté a R = 1 kΩ, C = 1 nF. Un signal d’entrée sinusoïdal de 1600 kHz est appliqué. Trouvez le déphasage φ de vout par rapport à vin, en degrés.

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

Calculer φ (°)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord la fréquence de coupure : fc = 159155 Hz.
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10,05.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ωc = 1/(RC) ou R/L, et fc = ωc/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) et φ = −atan(ω/ωc). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ωc : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsation de croisement de phase ω180 : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Fréquence de coupure

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1,6 × 10⁶/159155 = 10,05

Phase

φ = − atan(10,05) = −84,32°

Réponse

φ = −84,32°
Exemple 3Difficile
|H| (dB)0,10,111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 185/(s(s + 5)). Trouvez la marge de phase PM en degrés.

L(s) = 185/(s(s + 5))

Calculer PM (°)

Afficher les indices
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 donne ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0.
  2. Résolvez l’équation du second degré en x = ω² : x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
  3. ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ωc = 1/(RC) ou R/L, et fc = ωc/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) et φ = −atan(ω/ωc). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ωc : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsation de croisement de phase ω180 : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Croisement du gain

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s

Marge de phase

∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°

Réponse

PM = 20,82°

Questions et réponses

Diagrammes de Bode et marges : de quoi s’agit-il ?

Envoyez une sinusoïde dans un filtre ou un amplificateur, et une sinusoïde de la même fréquence en sort. Seules deux choses changent : sa taille et son décalage dans le temps.

Le gain |H| est le rapport de l’amplitude de sortie à l’amplitude d’entrée. La phase φ est le décalage de la sortie, en degrés. Une phase négative signifie que la sortie est en retard.

Diagrammes de Bode et marges : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ωc = 1/(RC) ou R/L, et fc = ωc/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) et φ = −atan(ω/ωc). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ωc : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jωc). Pulsation de croisement de phase ω180 : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Diagrammes de Bode et marges : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • C’est le gain sous forme de rapport. Convertissez : 20·log₁₀(0,3).
  • Pour un rapport de tensions ou de signaux, utilisez 20·log₁₀, pas 10·log₁₀ (qui sert pour les puissances).
  • Posez s = 0 dans chaque facteur : G(0) = 0,3, et non 12.
Diagrammes de Bode et marges : que couvrent les exercices ?
  • Facile: filtres et asymptotes
  • Moyen: module et phase
  • Difficile: marges de stabilité

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

À voir d’abord

Impédance et phaseurs en alternatifTransformées de Laplace

Calculatrices

Calculatrice de décibels (dB, dBm et niveaux sonores)Calculatrice de diagramme de Bode (marge de gain et marge de phase)

Cours qui contiennent ce thème

Circuits électriques 2 : régime sinusoïdalAutomatique 1Signaux et systèmesAutomatique 2 : conception de la commande par rétroactionEntraînement à l’examen FE Electrical and Computer

Autres thèmes en Génie électrique

Résistances en série et en parallèleSuperpositionThévenin et NortonMéthode des nœudsMéthode des maillesTransitoires RC et RLImpédance et phaseurs en alternatifPuissance alternative et facteur de puissanceRésonance LC, facteur de qualité et bande passantePuissance triphaséeTransformateursMoteurs à courant continuCircuits à ampli opDiodes et transistorsConvertisseurs continu-continuLogique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et basculesPont de Wheatstone et jauges de contrainteAcquisition de données et échantillonnageTransformées de LaplaceSchémas fonctionnelsRéponse indicielleStabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racinesErreur en régime permanent et commande PIDConvolution et systèmes LTI

Fiche d’exercices imprimable

Fiche d’exercices de Diagrammes de Bode et marges avec corrigé
S’entraîner gratuitement en Diagrammes de Bode et margesS’entraîner en Diagrammes de Bode et marges maintenant5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.