Exercices gratuits sur Réponse indicielle avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : systèmes du premier ordre, paramètres du second ordre, systèmes physiques et conception.
Exercice gratuitFacile
Un condensateur déchargé C = 47 µF est chargé par une source en échelon de 5 V à travers une résistance R = 4,7 kΩ. Trouvez la tension du condensateur vC à t = 220,9 ms.
Un échelon est une entrée qui saute de 0 à une valeur constante en t = 0 puis y reste. Pensez à allumer un radiateur, ou à appuyer sur l’accélérateur et à le maintenir.
La réponse indicielle est la façon dont la sortie suit. Elle ne peut pas sauter d’un coup : elle se dirige vers une nouvelle valeur finale y(∞) et s’y stabilise.
La courbe a monte régulièrement et ne dépasse jamais. C’est un système du premier ordre, comme un circuit RC ou un réservoir chauffé.
La courbe b dépasse, oscille quelques fois puis se stabilise. C’est un système du second ordre sous-amorti, comme la suspension d’une voiture ou une masse au bout d’un ressort.
La valeur finale vient du gain statique G(0) : un échelon d’amplitude U se stabilise à y(∞) = G(0)·U. C’est le théorème de la valeur finale des transformées de Laplace.
Auto-évaluation Un système G(s) = 3/(2s + 1) reçoit un échelon d’amplitude 4. Quelle est la valeur finale y(∞) ?
12
3
4
6
Réponse: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, donc y(∞) = 3·4 = 12. La valeur 4 oublie le gain, 3 oublie l’amplitude de l’échelon, et 6 divise par le 2 de 2s, qui disparaît en s = 0.
2Systèmes du premier ordre
Un système du premier ordre a la forme standard ci-dessous. K est le gain statique et τ la constante de temps en secondes.
G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)
Si G(s) est écrite sous la forme b/(s + a), divisez le numérateur et le dénominateur par a. Alors K = b/a et τ = 1/a.
Après 1τ, la sortie a effectué 63 % de sa variation, après 3τ 95 %, après 5τ plus de 99 %.
Le temps pour atteindre une fraction x de la valeur finale : t = −τ·ln(1 − x). Pour 90 %, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
Le temps de montée de 10 à 90 % est tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
Pour un circuit RC, τ = R·C. Notez que des kΩ multipliés par des µF donnent des millisecondes.
Si vous mesurez la réponse, vous pouvez retrouver τ à l’envers. Si la sortie a atteint une fraction x à l’instant t, alors τ = −t/ln(1 − x).
Exemple détaillé
G(s) = 10/(s + 5) reçoit un échelon d’amplitude 2 en t = 0. Trouvez la valeur finale et le temps pour atteindre 90 % de celle-ci.
1
Forme standard
Divisez le numérateur et le dénominateur par 5 :
G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2
Valeur finale
y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3
Temps pour atteindre 90 %
Résolvez 1 − e−t/τ = 0,9, donc e−t/τ = 0,1 :
t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Réponse
y(∞) = 4 et la sortie atteint 90 % après t ≈ 0,461 s.
Auto-évaluation Quelle est la constante de temps de G(s) = 10/(s + 5) ?
0,2 s
10 s
2 s
5 s
Réponse: 0,2 s. Écrite sous la forme 2/(0,2s + 1), la constante de temps est τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s confond τ avec a, et 2 est le gain K, pas un temps.
3Systèmes du second ordre
Un système du second ordre a un dénominateur du second degré. Comparez-le à la forme standard :
G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
Le terme constant est ωn², donc la pulsation propre est ωn = √(terme constant), en rad/s.
Le coefficient de s est 2ζωn, donc le taux d’amortissement est ζ = (coefficient de s)/(2ωn).
Pour 0 < ζ < 1, la réponse dépasse et oscille. Un ζ plus petit signifie un dépassement plus grand.
Pour un échelon unitaire, la valeur finale est G(0) = K/ωn². Cinq nombres décrivent la forme de la réponse :
ωd est la pulsation amortie : la rapidité avec laquelle la réponse oscille.
tp est le temps du premier pic, quand la sortie est la plus haute. %OS est le dépassement en pourcentage au-dessus de la valeur finale.
ts est le temps d’établissement, après lequel la sortie reste à moins de 2 % de la valeur finale.
Les deux pôles sont s = σ ± jωd, de partie réelle σ = −ζωn. Leur distance à l’origine est ωn, et cos θ = ζ.
Auto-évaluation Un système a pour dénominateur s² + 4s + 25. Quel est le taux d’amortissement ζ ?
0,08
0,4
0,8
2
Réponse: 0,4. ωn = √25 = 5, et 2ζωn = 4 donne ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 oublie le 2, 0,08 divise par ωn² au lieu de ωn, et 2 est ζωn.
4La méthode pas à pas
Déterminez l’ordre : un dénominateur de degré 1 est du premier ordre, de degré 2 du second ordre.
Premier ordre : écrivez G(s) sous la forme K/(τs + 1) et lisez K et τ.
Second ordre : comparez le dénominateur à s² + 2ζωns + ωn². Trouvez d’abord ωn, puis ζ.
Trouvez la valeur finale y(∞) = G(0)·U.
Appliquez la formule correspondant à ce qui est demandé : y(t), un temps, tp, %OS, ts ou σ.
Vérifiez les unités : temps en secondes, ω en rad/s, et l’angle dans les formules avec e… et π en radians.
5Un exemple détaillé
C’est une question moyenne typique. Essayez chaque étape avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
G(s) = 16/(s² + 4s + 16) reçoit un échelon unitaire. Trouvez ζ, ωn, le dépassement en pourcentage et le temps du premier pic.
1
Fréquence propre
Le terme constant est ωn² = 16.
ωn = √16 = 4 rad/s
2
Taux d’amortissement
Le coefficient de s est 2ζωn = 4.
ζ = 4/(2·4) = 0,5
ζ est compris entre 0 et 1, donc la réponse dépasse.
3
Dépassement en pourcentage
ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4
Temps du premier pic
ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5
Vérifiez la réponse
La valeur finale est G(0) = 16/16 = 1, donc le pic est d’environ 1,163. La figure de la section précédente utilise ce même système.
Le temps d’établissement 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s est plus tardif que le pic, comme il se doit.
Réponse
ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3 % et tp ≈ 0,907 s.
6Erreurs fréquentes
Traiter la montée comme linéaire. Une exponentielle atteint 90 % après 2,3τ, pas après 0,9τ : utilisez t = −τ·ln(1 − x).
Utiliser ln(x) au lieu de ln(1 − x). Le logarithme prend la part qui manque encore.
Lire τ = a dans b/(s + a). La constante de temps est 1/a.
Utiliser ωn² comme ωn. Prenez la racine carrée du terme constant.
Oublier le 2 dans 2ζωn, ou utiliser ωn au lieu de ωd dans tp = π/ωd.
Donner le dépassement sous forme de fraction (0,163) quand la question demande un pourcentage (16,3 %).
Auto-évaluation G(s) = 2/(s + 4) reçoit un échelon. Combien de temps la sortie met-elle pour atteindre 90 % de sa valeur finale ?
0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s
Réponse: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s et t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s traite la montée comme linéaire (0,9τ). 0,026 s utilise ln(0,9) au lieu de ln(0,1). 9,21 s utilise a = 4 au lieu de τ.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : systèmes du premier ordre. Vous trouvez y(∞), la sortie à un instant donné, le temps pour atteindre un pourcentage, τ à partir d’un point mesuré, ou le temps de charge d’un circuit RC.
Moyen : paramètres du second ordre. À partir de G(s) = K/(s² + a₁s + a₀), vous trouvez ζ, ωn, %OS, tp, ts ou la partie réelle σ des pôles.
Difficile : systèmes physiques et dimensionnement. Un système masse-ressort-amortisseur ou un circuit RLC, ou ζ et ωn retrouvés à partir d’un dépassement et d’un temps de pic mesurés.
Pour une masse m, un amortisseur c et un ressort k, l’équation m·x″ + c·x′ + k·x = F donne :
ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k
Pour remonter à partir d’un dépassement, résolvez la formule du %OS pour ζ :
Un système du premier ordre G(s) = 2/(2s + 1) reçoit un échelon d’amplitude 2 à t = 0, en partant du repos. Trouvez la valeur finale y(∞) de la sortie.
G(s) = 2/(2s + 1)U = 2
Calculer y(∞)
Afficher les indices
Théorème de la valeur finale : y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) est le gain statique.
G(0) = 2.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jωd avec ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), temps du premier pic tp = π/ωd, et temps de réponse à 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).
Gain statique
G(0) = 2
Valeur finale
y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4
Réponse
y(∞) = 4
Exemple 2Moyen
Un système a pour fonction de transfert G(s) = 213/(s² + 8s + 71) et reçoit un échelon unitaire. Trouvez le dépassement %OS en pourcentage de la réponse indicielle.
G(s) = 213/(s² + 8s + 71)
Calculer %OS(%)
Afficher les indices
Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jωd avec ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), temps du premier pic tp = π/ωd, et temps de réponse à 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).
Comparez avec la forme standard
Le dénominateur doit correspondre à s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747
Résultat
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %
Réponse
%OS = 18,37 %
Exemple 3Difficile
Une masse m = 2,5 kg est suspendue à un ressort k = 800 N/m avec un amortisseur visqueux c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Au repos à l’équilibre, une force constante F = 10 N est soudain appliquée. Trouvez l’instant tp où le déplacement est maximal.
m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N
Calculer tp(s)
Afficher les indices
Divisez par m : x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, donc ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)).
ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
Le déplacement final est F/k = 12,5 mm.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jωd avec ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), temps du premier pic tp = π/ωd, et temps de réponse à 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).
Pulsation propre et coefficient d’amortissement
ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006
Résultat
ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s
Réponse
tp = 0,1765 s
Questions et réponses
Réponse indicielle : de quoi s’agit-il ?
Un échelon est une entrée qui saute de 0 à une valeur constante en t = 0 puis y reste. Pensez à allumer un radiateur, ou à appuyer sur l’accélérateur et à le maintenir.
La réponse indicielle est la façon dont la sortie suit. Elle ne peut pas sauter d’un coup : elle se dirige vers une nouvelle valeur finale y(∞) et s’y stabilise.
Réponse indicielle : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jωd avec ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), temps du premier pic tp = π/ωd, et temps de réponse à 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).
Réponse indicielle : quelles sont les erreurs fréquentes ?
La sortie se stabilise à K·U, et non à U : le gain statique est G(0) = 2.
Exprimez le dépassement en pourcentage : multipliez par 100.
L’exposant est −ζπ/√(1 − ζ²).
Réponse indicielle : que couvrent les exercices ?
Facile: systèmes du premier ordre
Moyen: paramètres du second ordre
Difficile: systèmes physiques et conception
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.