Logique numérique : portes, tableaux de Karnaugh et bascules : exercices corrigés pas à pas

1Des uns, des zéros et des portes

Les circuits numériques travaillent avec deux valeurs : 0 (tension basse, faux) et 1 (tension haute, vrai). Une porte logique prend une ou plusieurs entrées et donne une sortie.

• AND donne 1 seulement quand toutes les entrées valent 1. Notée A·B ou AB.
• OR donne 1 quand au moins une entrée vaut 1. Notée A + B.
• NOT inverse : 0 devient 1 et 1 devient 0. Notée A′ (ou avec une barre au-dessus de A).
• NAND et NOR sont AND et OR suivis de NOT ; le petit cercle sur un symbole signifie « inversé ».
• XOR (A ⊕ B) donne 1 quand les entrées diffèrent.

Une table de vérité donne la sortie pour chaque combinaison des entrées : 2ⁿ lignes pour n entrées. La ligne ABC = 101 est la ligne numéro 5, appelée minterme m₅.

2Algèbre de Boole

Les expressions logiques suivent des règles comme l’algèbre ordinaire, plus quelques-unes qui leur sont propres. Les plus utiles :

La règle de combinaison X·Y + X·Y′ = X est le cœur de la simplification : deux termes qui diffèrent par une variable fusionnent, et cette variable disparaît.

Une somme de produits (SOP) est un OR de termes AND, comme F = AB′ + C. Un produit de sommes (POS) est un AND de termes OR, comme F = (A + B)(B′ + C). Chaque terme produit est construit à partir de littéraux : des variables, avec ou sans prime.

3Tableaux de Karnaugh

Un tableau de Karnaugh est une table de vérité dessinée en grille où des cases voisines diffèrent par exactement une variable. C’est pourquoi les lignes et colonnes suivent 00, 01, 11, 10 (code de Gray), et non l’ordre binaire.

1. Écrivez un 1 dans la case de chaque minterme ; le petit nombre dans chaque case est son numéro de minterme.
2. Dessinez des rectangles de 1, 2, 4, 8 ou 16 cases autour des 1. Les groupes peuvent déborder sur les bords : les colonnes gauche et droite sont voisines, de même que les lignes du haut et du bas.
3. Faites chaque groupe aussi grand que possible, et utilisez le moins de groupes possible jusqu’à ce que tous les 1 soient couverts.
4. Lisez chaque groupe comme un terme produit : ne gardez que les variables qui ne changent pas à l’intérieur. Un groupe de 2ᵏ cases perd k variables.

Dans le tableau ci-dessus, les quatre 1 forment un seul groupe. À l’intérieur, A change et C change, seul B = 1 reste, donc F = B.

Les cases marquées X sont des états indifférents : des combinaisons d’entrées qui ne se produisent jamais. Utilisez un X comme un 1 quand cela agrandit un groupe, et ignorez-le sinon. Regrouper les 0 à la place donne la forme POS minimale.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

5Bascules et compteurs

Les portes réagissent tout de suite à leurs entrées. Une bascule mémorise un bit et ne change qu’au front actif de l’horloge (en général le front montant).

• Bascule D : Q prend la valeur de D à chaque front d’horloge (Q⁺ = D).
• Bascule T : change d’état quand T = 1, conserve quand T = 0.
• Bascule JK : JK = 00 conserve, 01 remet à 0, 10 met à 1, 11 change d’état.

Une bascule qui change d’état à chaque front montant a une sortie de fréquence moitié de celle de l’horloge. En en enchaînant n, on obtient un compteur binaire de n bits à 2ⁿ états. Un compteur modulo N va de 0, 1, …, N − 1 puis revient à 0 ; il lui faut le plus petit n tel que 2ⁿ ≥ N, et sa dernière sortie tourne à f_clk/N.

Dans un compteur asynchrone, chaque étage est cadencé par le précédent, donc les retards s’additionnent : la période d’horloge doit être au moins n·t_pd. Les compteurs à registre à décalage utilisent moins d’états : un compteur en anneau de n bascules a n états, un compteur Johnson 2n.

6Erreurs fréquentes

• Écrire les colonnes du tableau de Karnaugh 00, 01, 10, 11. L’ordre est le code de Gray : 00, 01, 11, 10.
• Oublier que les groupes débordent sur les bords du tableau.
• Faire des groupes de 3 ou 6 cases. Les groupes ont 1, 2, 4, 8 ou 16 cases.
• Couvrir un état indifférent qui n’aide pas : un X n’a jamais besoin d’être couvert.
• Lire un groupe en gardant les variables qui changent. Gardez seulement celles qui restent constantes.
• Oublier qu’un compteur repasse à zéro : un compteur de n bits compte modulo 2ⁿ.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

• Facile : évaluer un circuit de portes pour des entrées données, compter les 1 de sa table de vérité, placer un minterme dans un tableau de Karnaugh, le nombre de portes NAND pour une fonction, ou le retard de propagation dans le pire cas.
• Moyen : simplifier une expression, trouver la forme SOP ou POS minimale avec un tableau de Karnaugh, une fonction construite avec un multiplexeur, ou le 1 isolé d’un tableau.
• Difficile : tableaux avec états indifférents, implicants premiers essentiels, chronogrammes de bascules, compteurs après de nombreuses impulsions, le nombre de bascules ou la fréquence de sortie, et registres à décalage.

Vérifiez une expression simplifiée en testant une ou deux lignes de la table de vérité : l’originale et la forme simplifiée doivent donner la même sortie.