Impédance et phaseurs en alternatif : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : régime sinusoïdal · impédance complexe · diagramme de Fresnel
Exercices gratuits sur Impédance et phaseurs en alternatif avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : RL série, RLC série, tension du condensateur et résonance.
Exercice gratuitFacile
Un circuit RL série est alimenté sous 120 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez la tension efficace VR aux bornes de la résistance.
Le réseau électrique est en courant alternatif (CA) : la tension oscille de haut en bas comme une sinusoïde, de nombreuses fois par seconde.
La fréquence f est le nombre d’oscillations complètes par seconde, en hertz (Hz). Le secteur est à 50 Hz en Europe et à 60 Hz en Amérique du Nord.
Les calculs en alternatif utilisent souvent la pulsation :
ω = 2π·f (rad/s)
Les tensions et courants alternatifs sont normalement donnés en valeurs efficaces (rms). Une valeur efficace produit le même effet de chauffage que cette valeur en continu. Un secteur de « 230 V » signifie 230 V efficaces.
Dans les circuits alternatifs, les bobines et les condensateurs limitent aussi le courant, pas seulement les résistances. Leur effet combiné s’appelle l’impédance Z, mesurée en ohms.
Auto-évaluation Une alimentation fonctionne à 50 Hz. Quelle est sa pulsation ω ?
157 rad/s
314 rad/s
50 rad/s
7,96 rad/s
Réponse: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Utiliser f lui-même (50) ou diviser par 2π (7,96) sont les étourderies habituelles ; 157 oublie le facteur 2.
2Réactance d’une bobine et d’un condensateur
Une bobine et un condensateur s’opposent au courant alternatif d’une manière qui dépend de la fréquence. Cette opposition dépendant de la fréquence s’appelle la réactance X, en ohms.
XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
Une bobine s’oppose aux variations rapides. Sa réactance XL croît avec la fréquence. En continu (f = 0), c’est un simple fil.
Un condensateur bloque le courant continu mais laisse passer les variations rapides. Sa réactance XC diminue quand la fréquence augmente.
Utilisez toujours L en henrys et C en farads : 100 mH = 0,1 H et 10 µF = 10·10−6 F.
Auto-évaluation Quelle est la réactance d’une bobine de 100 mH à 50 Hz ?
0,0318 Ω
31,4 Ω
5 Ω
5000 Ω
Réponse: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Utiliser f au lieu de ω donne 5 Ω, et oublier de convertir les mH en H donne 5000 Ω.
3Impédance et angle de phase
Dans une résistance, la tension et le courant montent et descendent ensemble. Dans une bobine, le courant est en retard d’un quart de période sur la tension ; dans un condensateur, il est en avance d’un quart de période.
À cause de ce décalage, on ne peut pas additionner R et X comme de simples nombres. On les additionne à angle droit, en les écrivant comme un nombre complexe avec j :
Z = R + j·(XL − XC)
Le module de l’impédance et son angle se déduisent du triangle rectangle :
|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)
La loi d’Ohm fonctionne avec le module : I = V / |Z|. L’angle φ indique de combien le courant est en retard sur la tension. Un φ positif signifie inductif (le courant est en retard) ; un φ négatif signifie capacitif.
Auto-évaluation Un circuit série a R = 30 Ω et XL = 40 Ω. Quelle est la valeur de |Z| ?
10 Ω
2500 Ω
50 Ω
70 Ω
Réponse: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Additionner les deux (70 Ω) ignore l’angle droit, et 2500 oublie la racine carrée.
4La méthode pas à pas
Convertissez la fréquence : ω = 2π·f.
Trouvez chaque réactance : XL = ωL et XC = 1/(ωC). Utilisez des H et des F.
Trouvez la réactance nette X = XL − XC (circuit série).
Trouvez |Z| = √(R² + X²) et, si nécessaire, φ = arctan(X/R).
Utilisez la loi d’Ohm : I = V/|Z|. La tension aux bornes d’un élément est alors I fois son R ou son X.
Dans un circuit série, le même courant traverse chaque élément. C’est pourquoi on peut d’abord trouver I et l’utiliser partout.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Un circuit RL série avec R = 50 Ω et L = 100 mH est branché sur une alimentation de 120 V (efficaces) et 60 Hz. Trouvez |Z|, le courant efficace I et l’angle de phase φ.
1
Observez le circuit
Il n’y a pas de condensateur, donc XC = 0.
2
Pulsation et réactance
ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3
Impédance
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4
Courant et angle de phase
I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°
L’angle est positif, donc le courant est en retard sur la tension, comme attendu pour un circuit inductif.
5
Vérifiez la réponse
La résistance prend 1,92·50 = 95,8 V et la bobine 1,92·37,7 = 72,2 V. Additionnées comme de simples nombres, cela fait 168 V, plus que l’alimentation.
Additionnées à angle droit, c’est correct : √(95,8² + 72,2²) = 120 V, la tension d’alimentation.
Réponse
|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A et φ = 37,0° (courant en retard).
6Erreurs fréquentes
Utiliser f au lieu de ω = 2πf dans XL et XC.
Additionner R, XL et XC comme de simples nombres. R est à angle droit de X ; XL et XC pointent dans des sens opposés.
Oublier que la réactance capacitive se soustrait : X = XL − XC.
Laisser L en mH ou C en µF, ou utiliser une calculatrice en radians alors que vous voulez φ en degrés.
Auto-évaluation Un circuit RLC série a R = 40 Ω, XL = 50 Ω et XC = 20 Ω. Quelle est la valeur de |Z| ?
110 Ω
50 Ω
70 Ω
80,6 Ω
Réponse: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, donc |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Si l’on ajoute XC au lieu de le soustraire, on obtient √(40² + 70²) = 80,6 Ω ; 110 Ω revient à additionner simplement tous les nombres.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : un circuit RL série alimenté en 50 Hz ou 60 Hz. Vous cherchez |Z| ou le courant efficace I.
Moyen : un circuit RLC série à différentes fréquences. Vous cherchez le courant I ou le déphasage φ, qui est négatif lorsque XC est plus grand que XL.
Difficile : un circuit RLC série où vous cherchez la tension aux bornes du condensateur, le courant ou la fréquence de résonance.
Pour la tension aux bornes du condensateur, trouvez d’abord I, puis VC = I·XC. Près de la résonance, elle peut dépasser la tension d’alimentation.
À la résonance, XL = XC, donc ils s’annulent et |Z| = R. La fréquence d’alimentation n’y change rien :
Trouvez la réactance XC d’un condensateur de 1 µF à 100 Hz.
C = 1 µFf = 100 Hz
Calculer XC(Ω)
Afficher les indices
Transformez L et C en réactances : XL = 2πfL et XC = 1/(2πfC).
Convertissez d’abord les µF en F : multipliez par 10⁻⁶.
ω = 628,3 rad/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Réactance
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω
Réponse
XC = 1592 Ω
Exemple 2Moyen
Un circuit RLC série avec L = 200 mH doit résonner à 1000 Hz. Trouvez la capacité C nécessaire.
f0 = 1000 HzL = 200 mH
Calculer C(µF)
Afficher les indices
À la résonance XL = XC, ce qui donne f₀ = 1/(2π√(LC)).
Réarrangez : C = 1/((2πf₀)²·L).
(2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Condition de résonance
À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF
Réponse
C = 0,1267 µF
Exemple 3Difficile
Un circuit RLC série a R = 20 Ω, L = 200 mH et C = 1 µF. Trouvez son facteur de qualité Q à la résonance.
R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF
Calculer Q
Afficher les indices
Trouvez d’abord la fréquence de résonance f₀ = 1/(2π√(LC)).
Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Fréquence de résonance
f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz
Facteur de qualité
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36
Réponse
Q = 22,36
Questions et réponses
Impédance et phaseurs en alternatif : de quoi s’agit-il ?
Le réseau électrique est en courant alternatif (CA) : la tension oscille de haut en bas comme une sinusoïde, de nombreuses fois par seconde.
La fréquence f est le nombre d’oscillations complètes par seconde, en hertz (Hz). Le secteur est à 50 Hz en Europe et à 60 Hz en Amérique du Nord.
Impédance et phaseurs en alternatif : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : XL = ωL et XC = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.
Impédance et phaseurs en alternatif : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Utiliser f au lieu de ω.
Additionner les modules des impédances au lieu des valeurs complexes.
Oublier que la réactance capacitive est négative dans l’impédance complexe.
Impédance et phaseurs en alternatif : que couvrent les exercices ?
Facile: RL série
Moyen: RLC série
Difficile: tension du condensateur et résonance
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.