Résonance LC, facteur de qualité et bande passante : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Résonance LC, facteur de qualité et bande passante avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : fréquence propre, Q et énergie, RLC série et parallèle, conception, pertes et amortissement.

Exercice gratuitFacile
C = ?L = 4,7 mH

Un circuit LC avec L = 4,7 mH doit résonner à 50 kHz. Trouvez la capacité C en nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Exercice suivant →
S’entraîner gratuitement en Résonance LC, facteur de qualité et bande passanteS’entraîner en Résonance LC, facteur de qualité et bande passante maintenant5 exercices gratuits chaque jour. Aucune carte bancaire requise.

Ce que vous travaillez

  1. Facilefréquence propre, Q et énergie
  2. MoyenRLC série et parallèle
  3. Difficileconception, pertes et amortissement

Comment résoudre les exercices de Résonance LC, facteur de qualité et bande passante

  1. Trouvez d’abord la fréquence de résonance : ω₀ = 1/√(LC) et f₀ = ω₀/(2π).
  2. Déterminez si le circuit est série ou parallèle : en série Q = (1/R)√(L/C), en parallèle Q = R√(C/L).
  3. Utilisez BW = f₀/Q pour la bande passante, ou les raccourcis R/(2πL) (série) et 1/(2πRC) (parallèle).
  4. Pour les questions d’énergie, utilisez le fait que l’énergie totale ½CV₀² reste constante dans un circuit LC idéal et oscille entre C et L tous les quarts de période.

Erreurs fréquentes

  • Confondre ω₀ (rad/s) et f₀ (Hz) : ils diffèrent d’un facteur 2π.
  • Utiliser la formule de Q du circuit série dans un circuit parallèle, où une résistance R plus grande donne un Q plus élevé.
  • Placer f₀ au milieu de f₁ et f₂ : c’est leur moyenne géométrique √(f₁f₂).
  • Oublier de convertir les µH, nF et pF en H et F.

Formules clés

Fréquence propre
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Énergie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Courant crête
Imax = V0√(C/L)
Facteur de qualité
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC série
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC parallèle
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bande passante
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Fréquences à mi-puissance
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Circuit bouchon avec résistance de bobine r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Décroissance de l’amplitude
e−Rt/(2L)

Apprendre Résonance LC, facteur de qualité et bande passante depuis zéro

Avant cela : Impédance et phaseurs en alternatif

1Ce qui se passe dans un circuit LC

Chargez un condensateur et reliez-le à une bobine. Le condensateur fait passer un courant dans la bobine. Le courant crée un champ magnétique, et quand le condensateur est vide, le champ entretient le courant, si bien que le condensateur se recharge dans l’autre sens. Puis tout repart en sens inverse.

C+−Li

L’énergie oscille entre le champ électrique de C (½Cv²) et le champ magnétique de L (½Li²), comme un pendule oscille entre hauteur et vitesse. Sans résistance, l’énergie totale ½CV0² reste la même.

Auto-évaluation À l’instant où la tension du condensateur est nulle, où se trouve l’énergie d’un circuit LC idéal ?
  1. Elle a été perdue sous forme de chaleur
  2. Moitié dans C et moitié dans L
  3. Tout entière dans la bobine, et le courant est à son maximum
  4. Tout entière dans le condensateur

Réponse: Tout entière dans la bobine, et le courant est à son maximum. Avec v = 0, le condensateur contient ½Cv² = 0, donc toute l’énergie est ½Li² dans la bobine : le courant est maximal. Un circuit idéal n’a pas de résistance, donc rien n’est perdu.

2La fréquence propre

Le circuit oscille à la fréquence où les réactances de L et de C sont égales, ωL = 1/(ωC) :

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Avec L = 10 mH et C = 1 µF : LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s et f0 = 1592 Hz. L’énergie passe de C à L en un quart de la période T = 1/f0.

L’énergie donne aussi le courant maximal : ½CV0² = ½LImax², donc Imax = V0√(C/L).

Auto-évaluation Que devient f0 quand on double C ?
  1. Elle double
  2. Elle est divisée par deux
  3. Elle est multipliée par √2
  4. Elle tombe à f0/√2, soit environ 0,71·f0

Réponse: Elle tombe à f0/√2, soit environ 0,71·f0. f0 est proportionnelle à 1/√C, donc doubler C la divise par √2. Elle ne se réduit de moitié que lorsque C est quatre fois plus grand.

3Facteur de qualité et bande passante

Les circuits réels perdent de l’énergie dans la résistance. Le facteur de qualité Q compare l’énergie stockée à la perte : Q = 2π·(énergie stockée)/(énergie perdue par cycle). Un Q élevé donne un pic de résonance étroit.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

La bande passante est la largeur du pic entre les fréquences à mi-puissance f1 et f2, où le courant vaut 0,707 de son maximum :

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC série : Q = (1/R)·√(L/C) et BW = R/(2πL). Une faible résistance série donne un Q élevé.
  • RLC parallèle : Q = R·√(C/L) et BW = 1/(2πRC). Une grande résistance parallèle donne un Q élevé.

4La méthode pas à pas

  1. Convertissez L et C en H et F, puis calculez ω0 = 1/√(LC) et f0 = ω0/(2π).
  2. Déterminez si R est en série ou en parallèle, et utilisez la formule de Q correspondante.
  3. Calculez la bande passante BW = f0/Q.
  4. Pour les fréquences à mi-puissance, utilisez f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)) ; pour un Q élevé, f0 ∓ BW/2 en est proche.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un circuit RLC série a R = 10 Ω, L = 10 mH et C = 1 µF. Trouvez sa fréquence de résonance, son facteur de qualité, sa bande passante et ses fréquences à mi-puissance.

1

Observez le circuit

RLC

Les trois éléments sont parcourus par le même courant, c’est donc un circuit série.

2

Fréquence de résonance

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Facteur de qualité

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Bande passante

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Vérification : R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Fréquences à mi-puissance

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz et 1673 Hz

Vérification : 1673 − 1514 = 159 Hz, et √(1514·1673) = 1592 Hz.

Réponse

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz et f2 = 1,67 kHz.

6Erreurs fréquentes

  • Confondre ω0 en rad/s et f0 en Hz : ils diffèrent d’un facteur 2π.
  • Utiliser la formule de Q du circuit série dans un circuit parallèle.
  • Placer f0 au milieu de f1 et f2 : c’est leur moyenne géométrique.
  • Oublier de convertir les mH, µH, nF et pF en H et F.
Auto-évaluation Un circuit RLC parallèle a R = 10 kΩ, L = 10 mH et C = 1 µF. Que vaut son Q ?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Réponse: 100. En parallèle, Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. La formule série (1/R)·√(L/C) donne 0,01, et omettre la racine carrée donne 1.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : fréquence propre, Q et énergie. Vous trouvez f0 ou le C pour une f0 donnée, la bande passante à partir de Q ou Q à partir de la bande passante, l’énergie stockée ou le courant maximal.
  • Moyen : RLC série et parallèle. Vous trouvez Q ou la bande passante d’un circuit série ou parallèle, la fréquence exacte à mi-puissance, le temps que met l’énergie pour passer de C à L, ou l’énergie dans L pour une tension donnée du condensateur.
  • Difficile : conception, pertes et amortissement. Vous dimensionnez R pour une bande passante ou C pour un filtre, trouvez l’énergie perdue par cycle, la résistance dynamique d’un circuit bouchon, le nombre de cycles avant que l’amplitude soit divisée par deux, ou Q à partir des deux fréquences à mi-puissance.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
C = ?L = 47 µH

Un circuit LC avec L = 47 µH doit résonner à 500 kHz. Trouvez la capacité C en nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Calculer C (nF)

Afficher les indices
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Résonance LC : un condensateur chargé relié à une bobine fait circuler un courant qui le recharge en sens inverse : l’énergie oscille entre le champ électrique de C (½Cv²) et le champ magnétique de L (½Li²) à la fréquence propre f0 = 1/(2π√(LC)). Sans résistance, l’énergie totale ½CV0² reste constante, donc le courant maximal est Imax = V0√(C/L). Une période vaut T = 1/f0 ; l’énergie passe de C à L en un quart de période.

Pulsation

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Capacité

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Réponse

C = 2,156 nF
Exemple 2Moyen
V2 Ω2,2 mH220 nF

Un circuit RLC série a R = 2 Ω, L = 2,2 mH et C = 220 nF. Trouvez sa bande passante BW en Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Calculer BW (Hz)

Afficher les indices
  1. La bande passante vaut f₀/Q.
  2. Pour un RLC série, cela se simplifie en BW = R/(2πL) : C disparaît.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Facteur de qualité et bande passante : dans un circuit résonant, Q = 2π·(énergie stockée)/(énergie perdue par cycle). Pour un RLC série, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C) ; pour un RLC parallèle, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). La bande passante entre les fréquences à mi-puissance f1 et f2 (où la puissance est réduite de moitié et le courant ou la tension vaut 1/√2 de son maximum) est BW = f2 − f1 = f0/Q, soit R/(2πL) en série et 1/(2πRC) en parallèle. La fréquence de résonance est la moyenne géométrique f0 = √(f1f2), et f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Les pertes font aussi décroître l’oscillation : en RLC série, l’amplitude diminue comme e−Rt/(2L).

Bande passante en rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Bande passante en Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Réponse

BW = 144,7 Hz

Avec f₀ = 7,234 kHz, on obtient Q = 50.

Exemple 3Difficile
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Un circuit bouchon parallèle est formé d’un condensateur de 10 nF et d’une bobine de 47 µH dont la résistance de bobinage est 0,5 Ω. À la résonance, il se comporte comme une résistance, sa résistance dynamique RD = L/(C·r). Trouvez RD en kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Calculer RD (kΩ)

Afficher les indices
  1. Le circuit bouchon ne tire qu’un faible courant à la résonance, donc son impédance est grande.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Facteur de qualité et bande passante : dans un circuit résonant, Q = 2π·(énergie stockée)/(énergie perdue par cycle). Pour un RLC série, Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C) ; pour un RLC parallèle, Q = R/(ω0L) = R√(C/L). La bande passante entre les fréquences à mi-puissance f1 et f2 (où la puissance est réduite de moitié et le courant ou la tension vaut 1/√2 de son maximum) est BW = f2 − f1 = f0/Q, soit R/(2πL) en série et 1/(2πRC) en parallèle. La fréquence de résonance est la moyenne géométrique f0 = √(f1f2), et f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Les pertes font aussi décroître l’oscillation : en RLC série, l’amplitude diminue comme e−Rt/(2L).

Résistance dynamique

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Vérification avec Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Réponse

RD = 9,4 kΩ

Questions et réponses

Résonance LC, facteur de qualité et bande passante : de quoi s’agit-il ?

Chargez un condensateur et reliez-le à une bobine. Le condensateur fait passer un courant dans la bobine. Le courant crée un champ magnétique, et quand le condensateur est vide, le champ entretient le courant, si bien que le condensateur se recharge dans l’autre sens. Puis tout repart en sens inverse.

L’énergie oscille entre le champ électrique de C (½Cv²) et le champ magnétique de L (½Li²), comme un pendule oscille entre hauteur et vitesse. Sans résistance, l’énergie totale ½CV0² reste la même.

Résonance LC, facteur de qualité et bande passante : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Trouvez d’abord la fréquence de résonance : ω₀ = 1/√(LC) et f₀ = ω₀/(2π).
  2. Déterminez si le circuit est série ou parallèle : en série Q = (1/R)√(L/C), en parallèle Q = R√(C/L).
  3. Utilisez BW = f₀/Q pour la bande passante, ou les raccourcis R/(2πL) (série) et 1/(2πRC) (parallèle).
  4. Pour les questions d’énergie, utilisez le fait que l’énergie totale ½CV₀² reste constante dans un circuit LC idéal et oscille entre C et L tous les quarts de période.
Résonance LC, facteur de qualité et bande passante : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Confondre ω₀ (rad/s) et f₀ (Hz) : ils diffèrent d’un facteur 2π.
  • Utiliser la formule de Q du circuit série dans un circuit parallèle, où une résistance R plus grande donne un Q plus élevé.
  • Placer f₀ au milieu de f₁ et f₂ : c’est leur moyenne géométrique √(f₁f₂).
  • Oublier de convertir les µH, nF et pF en H et F.
Résonance LC, facteur de qualité et bande passante : que couvrent les exercices ?
  • Facile: fréquence propre, Q et énergie
  • Moyen: RLC série et parallèle
  • Difficile: conception, pertes et amortissement

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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