Superposition : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : théorème de superposition · principe de superposition

Exercices gratuits sur Superposition avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : 2 sources de tension, source de tension + source de courant, 3 sources.

Exercice gratuitFacile
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

Utilisez le théorème de superposition pour trouver le courant IR1 dans R1 dans le sens de la flèche.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
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Ce que vous travaillez

  1. Facile2 sources de tension
  2. Moyensource de tension + source de courant
  3. Difficile3 sources

Comment résoudre les exercices de Superposition

  1. Comptez les sources indépendantes. Vous résoudrez un circuit plus simple par source.
  2. Gardez une source et éteignez les autres : une source de tension devient un court-circuit (un fil), une source de courant devient un circuit ouvert (une coupure).
  3. Résolvez le circuit simplifié pour la tension ou le courant cherché, en notant son sens.
  4. Recommencez pour chaque source, puis additionnez les contributions avec leurs signes.

Erreurs fréquentes

  • Supprimer une source de tension au lieu de la remplacer par un fil.
  • Additionner les contributions sans vérifier leurs sens.
  • Appliquer la superposition à la puissance : la puissance n’est pas linéaire, trouvez donc d’abord le courant total, puis la puissance.

Formules clés

Superposition
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Source de tension éteinte
court-circuit (0 V)
Source de courant éteinte
circuit ouvert (0 A)
Diviseur de tension
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Diviseur de courant
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Apprendre Superposition depuis zéro

Avant cela : Résistances en série et en parallèle

1Ce qu’est la superposition

De nombreux circuits ont plus d’une source : deux piles, ou une pile et une source de courant.

Les résoudre d’un seul coup peut être difficile. La superposition permet de découper le problème en morceaux plus simples.

L’idée : chaque source fait circuler son propre courant dans le circuit. Le courant réel dans une résistance est la somme de ce que provoque chaque source seule.

Pensez à deux robinets qui remplissent la même baignoire. Le niveau de l’eau monte de ce qu’apporte le premier robinet plus ce qu’apporte le second.

Auto-évaluation Que permet la superposition ?
  1. Ignorer toutes les sources sauf la plus grande
  2. Multiplier les effets des sources
  3. Remplacer toutes les résistances par une seule résistance
  4. Résoudre le circuit une fois par source et additionner les résultats

Réponse: Résoudre le circuit une fois par source et additionner les résultats. On examine une source à la fois, on trouve ce qu’elle provoque, puis on additionne toutes les contributions à la fin.

2Éteindre une source

Pour examiner une source seule, vous éteignez les autres sources. Éteindre signifie mettre la source à zéro.

  • Une source de tension mise à 0 V devient un simple fil (un court-circuit).
  • Une source de courant mise à 0 A devient une coupure (un circuit ouvert).
+−0 V0 A

Seules les sources sont éteintes. Chaque résistance reste exactement à sa place.

Cela fonctionne pour les circuits composés de résistances et de sources indépendantes. De tels circuits sont dits linéaires : doubler une source double tout ce qu’elle provoque.

Auto-évaluation Comment éteint-on une source de courant ?
  1. En la remplaçant par un circuit ouvert (une coupure)
  2. En la remplaçant par un court-circuit (un fil)
  3. En la remplaçant par une résistance de 1 Ω
  4. En retirant la résistance voisine

Réponse: En la remplaçant par un circuit ouvert (une coupure). Une source de courant éteinte débite 0 A. Une coupure est la seule chose qui ne laisse passer aucun courant, quelle que soit la tension.

3Les outils dont vous avez besoin

Chaque circuit plus simple n’a qu’une seule source, vous pouvez donc le résoudre avec des résistances en série et en parallèle.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

Le diviseur de tension est l’outil que vous utilisez le plus. Deux résistances en série se partagent la tension de la source proportionnellement à leur valeur :

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

Ensuite, la loi d’Ohm, I = V/R, donne le courant dans n’importe quelle résistance dès que vous connaissez sa tension.

Auto-évaluation Une source de 12 V alimente 6 Ω et 2 Ω en série. Quelle est la tension aux bornes de la résistance de 2 Ω ?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

Réponse: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. La plus petite résistance reçoit la plus petite part de la tension.

4La méthode pas à pas

  1. Comptez les sources indépendantes. Vous résoudrez un circuit plus simple pour chacune d’elles.
  2. Gardez une source et éteignez toutes les autres : les sources de tension deviennent des fils, les sources de courant deviennent des coupures.
  3. Résolvez le circuit plus simple pour la grandeur recherchée. Gardez le même sens (ou les mêmes + et −) que dans l’énoncé.
  4. Recommencez pour chaque source.
  5. Additionnez toutes les contributions avec leurs signes. Une contribution de sens opposé compte comme négative.

Dessinez chaque circuit plus simple avant de calculer. La plupart des erreurs viennent du fait de regarder le schéma d’origine en résolvant un autre circuit.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Trouvez le courant I3 dans R3 (vers le bas) dans ce circuit.

1

Observez le circuit

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

Il y a deux sources, V1 = 12 V et V2 = 6 V. Nous résolvons donc deux circuits plus simples.

2

V₁ seule allumée

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

Remplacez V2 par un fil. Maintenant R2 va du nœud A directement au fil du bas, donc R2 et R3 sont en parallèle.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

Diviseur de tension pour V₁

V1 voit R1 = 6 Ω en série avec la paire parallèle de 2 Ω. La tension en A est la part de la partie de 2 Ω :

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

V₂ seule allumée

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

Remplacez maintenant V1 par un fil. R1 et R3 sont en parallèle : 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

Additionner les contributions

Les deux contributions traversent R3 vers le bas, elles sont donc toutes deux positives.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

Vérifiez la réponse

Avec les deux sources allumées, VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Les courants arrivant en A des deux côtés sont (12 − 4,5)/6 = 1,25 A et (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

Ensemble, cela fait 1,5 A, exactement le courant qui sort par R3. La réponse est correcte.

Réponse

I3 = 1,5 A, vers le bas.

6Erreurs fréquentes

  • Retirer une source de tension en laissant une coupure. Une source de tension éteinte est un fil.
  • Additionner des contributions sans vérifier leurs sens. Dessinez une flèche pour chaque contribution.
  • Calculer la puissance par superposition. La puissance n’est pas linéaire : trouvez d’abord le courant total, puis P = I²·R.
  • Oublier une source. Avec trois sources, il faut trois circuits plus simples.
Auto-évaluation Dans l’exemple, I₃′ = 1 A et I₃″ = 0,5 A dans une résistance de 3 Ω. Quelle puissance R₃ absorbe-t-elle ?
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

Réponse: 6,75 W. Additionnez d’abord les courants : 1,5 A. Ensuite P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Additionner les deux puissances séparées (3 + 0,75 = 3,75 W) est faux, car la puissance n’est pas linéaire.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : deux sources de tension et trois résistances. Chaque circuit plus simple est un diviseur de tension.
  • Moyen : une source de tension et une source de courant. Rappelez-vous que la source de courant éteinte devient une coupure.
  • Difficile : trois sources, et la cible peut être une tension de nœud ou un courant de branche.

Certaines questions ne donnent que des mesures. Par exemple : avec les deux sources allumées, le courant est de 6,5 mA, et avec V2 éteinte, il est de 4,5 mA. Alors V2 seule provoque 2 mA.

Comme le circuit est linéaire, doubler V1 double sa contribution. Servez-vous-en pour prédire le courant après le changement d’une source.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

Utilisez le théorème de superposition pour trouver la tension VR3 aux bornes de R3 avec la polarité indiquée.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

Calculer VR3 (V)

Afficher les indices
  1. Ce circuit a 2 sources indépendantes : résolvez 2 circuits plus simples, un par source. Éteignez les autres : une source de tension devient un court-circuit, une source de courant un circuit ouvert.
  2. Avec V₁ seule active, R₂ et R₃ se retrouvent en parallèle. Utilisez un pont diviseur pour obtenir la tension au nœud A.
  3. Avec V1 seule active, VR3′ = 2,634 V. Trouvez l’autre contribution de la même façon et additionnez-les.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Superposition : dans un circuit linéaire, toute tension ou tout courant est la somme des réponses à chaque source indépendante agissant seule. Pour éteindre une source, remplacez une source de tension idéale par un court-circuit et une source de courant idéale par un circuit ouvert. Les résistances restent en place.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩACOURT-CIRCUIT

Cas 1 · V1 seule

V₂ devient un court-circuit, donc R₂ relie maintenant A à la masse, en parallèle avec R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩCOURT-CIRCUITR3​2 ΩA+−V2​18 V

Cas 2 · V2 seule

V₁ devient un court-circuit, donc R₁ relie maintenant A à la masse, en parallèle avec R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

Additionner les contributions

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

Un résultat négatif signifie que la polarité réelle est l’inverse de celle indiquée.

Exemple 2Moyen
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

Utilisez la superposition pour trouver la puissance PR4 absorbée par R4.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

Calculer PR4 (W)

Afficher les indices
  1. Ce circuit a 2 sources indépendantes : résolvez 2 circuits plus simples, un par source. Éteignez les autres : une source de tension devient un court-circuit, une source de courant un circuit ouvert.
  2. Trouvez le courant IR4 dans R4 par superposition, puis élevez-le au carré : P = I²R.
  3. Avec seulement V1 active, IR4′ = 0,07059 A.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Superposition : dans un circuit linéaire, toute tension ou tout courant est la somme des réponses à chaque source indépendante agissant seule. Pour éteindre une source, remplacez une source de tension idéale par un court-circuit et une source de courant idéale par un circuit ouvert. Les résistances restent en place.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBOUVERT

Cas 1 · V1 seule

Iₛ devient un circuit ouvert, donc R₃ et R₄ forment une branche série de A à la masse, en parallèle avec R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩCOURT-CIRCUITR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Cas 2 · Is seule

V₁ devient un court-circuit, donc R₁ est en parallèle avec R₂. Iₛ se partage en B entre R₄ et le chemin passant par R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

Additionner les contributions de courant

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

Puissance dans la résistance

La puissance dépend du carré du courant, donc elle n’obéit pas à la superposition : additionnez d’abord les courants, puis élevez au carré.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

Réponse

PR4 = 14,06 W

Additionner les puissances des cas séparés donnerait 12,34 W, ce qui est faux.

Exemple 3Difficile
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Utilisez le théorème de superposition pour trouver la tension VR2 aux bornes de R2 avec la polarité indiquée.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

Calculer VR2 (V)

Afficher les indices
  1. Ce circuit a 3 sources indépendantes : résolvez 3 circuits plus simples, un par source. Éteignez les autres : une source de tension devient un court-circuit, une source de courant un circuit ouvert.
  2. Commencez avec V₁ seule : court-circuitez V₂, ouvrez Iₛ. Vu de A, R₃ est en parallèle avec R₂+R₄.
  3. Avec V1 seule active, VR2′ = 0,6379 V. Trouvez les autres contributions de la même façon et additionnez-les.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Superposition : dans un circuit linéaire, toute tension ou tout courant est la somme des réponses à chaque source indépendante agissant seule. Pour éteindre une source, remplacez une source de tension idéale par un court-circuit et une source de courant idéale par un circuit ouvert. Les résistances restent en place.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAOUVERTBCOURT-CIRCUIT

Cas 1 · V1 seule

V₂ devient un court-circuit et Iₛ un circuit ouvert. Vu de A, R₃ est en parallèle avec la série R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCOURT-CIRCUITR3​8 ΩAIs​1 ABCOURT-CIRCUIT

Cas 2 · Is seule

Les deux sources de tension deviennent des courts-circuits. Iₛ se partage en B entre R₄ (désormais à la masse) et R₂ en série avec R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, donc le chemin de gauche vaut R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩCOURT-CIRCUITR3​8 ΩAOUVERTB+−V2​15 V

Cas 3 · V2 seule

V₁ devient un court-circuit et Iₛ un circuit ouvert. R₁ ∥ R₃ part de A, en série avec R₂ jusqu’à B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

Additionner les contributions

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

Un résultat négatif signifie que la polarité réelle est l’inverse de celle indiquée.

Questions et réponses

Superposition : de quoi s’agit-il ?

De nombreux circuits ont plus d’une source : deux piles, ou une pile et une source de courant.

Les résoudre d’un seul coup peut être difficile. La superposition permet de découper le problème en morceaux plus simples.

Superposition : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Comptez les sources indépendantes. Vous résoudrez un circuit plus simple par source.
  2. Gardez une source et éteignez les autres : une source de tension devient un court-circuit (un fil), une source de courant devient un circuit ouvert (une coupure).
  3. Résolvez le circuit simplifié pour la tension ou le courant cherché, en notant son sens.
  4. Recommencez pour chaque source, puis additionnez les contributions avec leurs signes.
Superposition : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Supprimer une source de tension au lieu de la remplacer par un fil.
  • Additionner les contributions sans vérifier leurs sens.
  • Appliquer la superposition à la puissance : la puissance n’est pas linéaire, trouvez donc d’abord le courant total, puis la puissance.
Superposition : que couvrent les exercices ?
  • Facile: 2 sources de tension
  • Moyen: source de tension + source de courant
  • Difficile: 3 sources

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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