Schémas fonctionnels : exercices corrigés pas à pas

1Ce qu’est un schéma fonctionnel

Un système de commande est une chaîne d’éléments : un correcteur, un moteur, un capteur. Un schéma fonctionnel dessine chaque élément comme une boîte et chaque signal comme une flèche.

Un bloc multiplie son signal d’entrée par son gain ou sa fonction de transfert G. Si 3 entre dans un bloc G = 5, alors 15 en sort.

Un sommateur (un cercle) additionne ou soustrait des signaux. Le signe à côté de chaque flèche entrante indique lequel. Un point est un point de prélèvement : le signal est copié, pas divisé.

C’est l’image la plus importante en automatique. La sortie C est mesurée par H et soustraite de la consigne R. La différence E = R − H·C est l’erreur qui pilote G.

C’est la rétroaction négative : quand la sortie est trop haute, l’erreur diminue et la ramène vers le bas.

2Trois règles pour simplifier n’importe quel schéma

Vous réduisez un schéma pas à pas jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un bloc. Son gain T = C/R est la fonction de transfert en boucle fermée.

• Série : les blocs placés l’un après l’autre se multiplient, G₁·G₂.
• Parallèle : les blocs qui alimentent le même sommateur s’additionnent, avec les signes du sommateur : G₁ + G₂ ou G₁ − G₂.
• Boucle de rétroaction : un bloc direct G avec une rétroaction négative H devient G/(1 + G·H).

La règle de la rétroaction découle de deux équations. Au sommateur, E = R − H·C, et le bloc donne C = G·E. Donc C = G·R − G·H·C, et par conséquent :

Avec une rétroaction positive, le signal est ajouté au sommateur, et le signe au dénominateur s’inverse : T = G/(1 − G·H).

Le produit G·H est le gain de boucle. Quand il est grand, T se rapproche de 1/H : c’est le capteur, et non le procédé, qui fixe le gain.

3Boucles avec fonctions de transfert

Les blocs réels dépendent de s, par exemple un moteur G(s) = b/(s + a). Les mêmes règles s’appliquent. Ensuite, on simplifie les fractions dans les fractions.

Avec une rétroaction unitaire (H = 1), multipliez le numérateur et le dénominateur de G/(1 + G) par (s + a) :

• Le pôle en boucle fermée est la racine du dénominateur : p = −(a + b). Il est plus à gauche que le pôle en boucle ouverte −a, donc la boucle est plus rapide.
• La constante de temps est τ = 1/(a + b).
• Le gain statique est T(0) = b/(a + b). Un échelon d’amplitude A se stabilise à c_ss = A·T(0).
• Avec un gain de capteur H, le dénominateur devient s + a + b·H.

L’erreur en régime permanent e_ss est ce qui reste de R − C après stabilisation. Avec une rétroaction unitaire, utilisez les constantes d’erreur :

• Pour un échelon d’amplitude A : e_ss = A/(1 + K_p), avec la constante de position K_p = G(0).
• Pour une rampe r(t) = A·t : e_ss = A/K_v, avec la constante de vitesse K_v = lim_s→0 s·G(s).

Pour G(s) = 8/(s(s + 4)), le facteur s se simplifie : K_v = 8/4 = 2. Une rampe r(t) = 1·t laisse alors e_ss = 1/2 = 0,5.

Pour une boucle du second ordre comme G(s) = K/(s(s + 6)), la boucle fermée a pour équation s² + 6s + K = 0. Deux pôles réels égaux (amortissement critique) demandent 6² = 4K, donc K = 9.

4La méthode pas à pas

1. Trouvez la boucle la plus interne. Réduisez-la d’abord avec G/(1 + G·H), ou G/(1 − G·H) pour une rétroaction positive.
2. Combinez les blocs en série (multipliez) et en parallèle (additionnez avec les signes du sommateur).
3. Répétez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un bloc. Ce bloc est T(s) = C/R.
4. Simplifiez les fractions : multipliez le numérateur et le dénominateur par les dénominateurs de G(s).
5. Lisez ce qui est demandé : les pôles d’après le dénominateur, T(0) pour le régime permanent, τ = 1/(valeur absolue du pôle) pour une boucle du premier ordre.

Vérification rapide : en s = 0, vous pouvez réduire le schéma avec de simples nombres. Cela donne T(0) directement et repère la plupart des erreurs d’algèbre.

5Un exemple détaillé

C’est une question moyenne typique avec une boucle interne. Essayez chaque étape avant de l’ouvrir.

6Erreurs fréquentes

• Utiliser 1 − G·H pour une rétroaction négative. Une rétroaction négative donne 1 + G·H, une rétroaction positive donne 1 − G·H.
• Mettre H au numérateur. T = G/(1 + G·H) : H n’apparaît que dans le gain de boucle.
• Fermer la boucle externe avant la boucle interne. Travaillez toujours de l’intérieur vers l’extérieur.
• Oublier le gain de capteur H dans le pôle : le dénominateur est s + a + b·H, pas s + a + b.
• Donner le pôle en boucle ouverte −a ou le gain en boucle ouverte G(0). La rétroaction change les deux.
• Utiliser A/K_p pour une erreur à l’échelon. La bonne formule est A/(1 + K_p).

7À quoi ressemblent les questions d’examen

• Facile : série, parallèle et rétroaction. Vous réduisez des gains dans une boucle, des blocs en parallèle avec signes, ou une rétroaction positive. Ou vous fermez une boucle unitaire autour de b/(s + a) et donnez le pôle, τ, T(0) ou c_ss.
• Moyen : fonctions de transfert en boucle fermée et erreurs. Une boucle interne comme dans l’exemple, un gain de capteur H, le gain K pour l’amortissement critique, ou l’erreur en régime permanent pour un échelon ou une rampe.
• Difficile : perturbations, stabilité et pôles. Une perturbation D ajoutée à l’entrée du procédé, ou le gain maximal K_max pour la stabilité avec le critère de Routh–Hurwitz.

Pour une perturbation, utilisez la superposition : trouvez C à partir de R avec D = 0, puis C à partir de D avec R = 0, et additionnez les deux.