Convolution et systèmes LTI : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Convolution et systèmes LTI avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : convolution discrète, convolution continue, réponse impulsionnelle et série de Fourier.

Exercice gratuitFacile
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

Les suites x[n] = {−3, 2, 4, 3} et h[n] = {1, 1, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
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Ce que vous travaillez

  1. Facileconvolution discrète
  2. Moyenconvolution continue
  3. Difficileréponse impulsionnelle et série de Fourier

Comment résoudre les exercices de Convolution et systèmes LTI

  1. Esquissez les deux signaux et notez où chacun est non nul.
  2. Retournez h et faites-la glisser : pour chaque instant de sortie, trouvez la plage où les deux signaux se recouvrent.
  3. Multipliez et additionnez (cas discret) ou multipliez et intégrez (cas continu) sur ce seul recouvrement.
  4. Vérifiez le résultat : la sortie commence à la somme des instants de début, se termine à la somme des instants de fin, et son aire ou sa somme est le produit des aires ou des sommes des entrées.

Erreurs fréquentes

  • Multiplier les deux signaux échantillon par échantillon au lieu d’en faire la convolution.
  • Décaler h sans la retourner, ce qui donne la corrélation.
  • Utiliser une formule de réponse indicielle là où la réponse impulsionnelle est demandée, ou l’inverse.
  • Se tromper sur le rang de l’harmonique : la composante à k/T est l’harmonique de rang k.

Formules clés

Convolution discrète
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Convolution continue
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Longueur et somme
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Début, fin et aire
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Échelon dans e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Système du premier ordre
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Récurrence du premier ordre
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoïde traversant h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudes de la série de Fourier
carré ±A : 4A/(kπ), k impair ; triangle ±A : 8A/(π²k²), k impair ; train d’impulsions : A·D et (2A/(kπ))|sin kπD|

Apprendre Convolution et systèmes LTI depuis zéro

Avant cela : Intégrales

1Ce que fait la convolution

Un système linéaire invariant dans le temps (LTI) est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle h : la sortie qu’il donne lorsque l’entrée est une seule impulsion brève.

Toute entrée peut être vue comme une suite d’impulsions pondérées et décalées. Chaque impulsion produit une copie pondérée et décalée de h, et la sortie est la somme de toutes les copies. Cette somme est la convolution y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

La convolution apparaît partout où un système a de la mémoire : filtres, capteurs, structures, circuits, et étalement d’un signal dans le temps.

Auto-évaluation Un système a h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). L’entrée est un seul échantillon x[0] = 2. Quelle est la sortie ?
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

Réponse: y[n] = {2, 6}. Une impulsion de hauteur 2 donne une copie de h multipliée par 2 : {2·1, 2·3} = {2, 6}. La convolution conserve la forme de h ; elle n’additionne pas les échantillons entre eux.

2La convolution discrète pas à pas

Pour des suites, la convolution est une somme :

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. Retournez h : h[−k] est h en miroir autour de k = 0.
  2. Décalez la h retournée de n.
  3. Multipliez-la échantillon par échantillon avec x et additionnez les produits. Cela donne y[n].
  4. Répétez pour chaque n. Si x a Lx échantillons et h en a Lh, y a Lx + Lh − 1 échantillons, à partir de la somme des deux indices de début.

Une vérification rapide : la somme de tous les échantillons de y est égale à (Σx)·(Σh).

Auto-évaluation Pour x[n] = {1, 2} et h[n] = {3, 1}, tous deux commençant en n = 0, que vaut y[1] ?
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

Réponse: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. Multiplier seulement x[1]·h[1] donne 2, et 6 ne garde qu’un des deux produits.

3Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Faites la convolution de x[n] = {2, 1, −1} avec h[n] = {1, 3}, tous deux commençant en n = 0.

1

Observez les suites

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

x a 3 échantillons et h en a 2, donc y a 3 + 2 − 1 = 4 échantillons, de n = 0 à n = 3.

2

y[0]

Seuls x[0] et h[0] se recouvrent.

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] et y[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

Vérifiez la réponse

Σx = 2 et Σh = 4, donc Σy doit valoir 8. En effet 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

Réponse

y[n] = {2, 7, 2, −3} pour n = 0 … 3.

4Convolution continue

Pour des signaux en temps continu, la somme devient une intégrale :

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

La méthode est la même : retournez h, faites-la glisser jusqu’à la position t et intégrez le produit sur la partie où les deux signaux sont non nuls.

x(t)t12h(t)t1

Avec x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 1 s et h(t) = e−tu(t), la sortie pendant que l’impulsion est présente est y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). À t = 1 s, elle atteint 2(1 − e−1) = 1,26, puis elle décroît comme 1,26·e−(t − 1).

  • y commence à la somme des deux instants de début et se termine à la somme des deux instants de fin.
  • L’aire sous y est l’aire sous x multipliée par l’aire sous h.
  • Deux impulsions rectangulaires donnent un trapèze ; deux impulsions égales donnent un triangle.
Auto-évaluation x(t) est non nul de 0 à 2 s et h(t) de 1 s à 4 s. Quand y(t) = x(t) ∗ h(t) se termine-t-elle ?
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

Réponse: 6 s. y se termine à la somme des instants de fin : 2 + 4 = 6 s. Elle commence à 0 + 1 = 1 s, donc elle dure 5 s ; 5 s est la durée, pas la fin.

5Réponses impulsionnelles et séries de Fourier

Un système du premier ordre y′ + a·y = b·x a pour réponse impulsionnelle h(t) = b·e−atu(t). Son équivalent discret y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] a h[n] = b·aⁿ pour n ≥ 0.

Une sinusoïde traverse un système LTI sans changer de fréquence. Elle est multipliée par |H(jω)| et déphasée de ∠H(jω), où H est la transformée de Fourier de h. Pour h(t) = b·e−atu(t), H(jω) = b/(a + jω).

Un signal périodique de période T est une somme d’harmoniques aux fréquences k/T. Quelques amplitudes usuelles :

  • Signal carré entre −A et +A : seulement k impair, amplitude 4A/(kπ).
  • Signal triangulaire entre −A et +A : seulement k impair, amplitude 8A/(π²k²).
  • Train d’impulsions de hauteur A et de rapport cyclique D : moyenne A·D, harmoniques (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Auto-évaluation Un signal carré commute entre −2 et +2. Quelle est l’amplitude de son troisième harmonique ?
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

Réponse: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. 2,546 est le fondamental, 0,283 divise par k² comme pour un signal triangulaire, et 0,424 utilise 2A/(kπ), la formule d’un signal de 0 à A.

6Erreurs fréquentes

  • Multiplier les deux signaux échantillon par échantillon au lieu d’en faire la convolution.
  • Faire glisser h sans la retourner ; cela donne la corrélation, et non la convolution.
  • Confondre la réponse impulsionnelle et la réponse indicielle : la réponse indicielle est la somme cumulée ou l’intégrale de h.
  • Se tromper sur le rang des harmoniques : la composante à k/T est l’harmonique de rang k.
Auto-évaluation x[n] = {1, 2} et h[n] = {1, 1}, tous deux à partir de n = 0. Que vaut y[1] ?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Réponse: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. Le produit échantillon par échantillon x[1]·h[1] ne donne que 2.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : convolution discrète. Vous trouvez un échantillon de sortie, le plus grand échantillon, la somme de tous les échantillons, le premier ou le dernier indice de y, la sortie d’un filtre RIF, ou la réponse à un échelon.
  • Moyen : convolution continue. Vous trouvez y(t) à un instant donné pour deux impulsions, pour une exponentielle avec un échelon ou une impulsion, ou pour deux exponentielles, ainsi que l’aire, le début, la fin ou la durée de y.
  • Difficile : réponses impulsionnelles et séries de Fourier. Vous trouvez h(t) d’une équation différentielle du premier ordre, h[n] ou la réponse indicielle d’une récurrence, le gain ou la phase pour une sinusoïde, ou un harmonique d’un signal carré, triangulaire ou impulsionnel.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Les suites x[n] = {4, −3, −2} et h[n] = {3, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calculer y[1]

Afficher les indices
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Pour n = 1, les termes correspondent à k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convolution discrète : la sortie d’un système linéaire invariant dans le temps est y[n] = Σk x[k]·h[n − k] : on retourne h, on la décale de n, on multiplie échantillon par échantillon avec x et on additionne. Si x a Lx échantillons à partir de nx et h a Lh échantillons à partir de nh, alors y a Lx + Lh − 1 échantillons à partir de nx + nh. La somme de tous les échantillons de y est égale à (Σx)·(Σh). Un filtre RIF y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … est une convolution avec h[n] = bn.

Termes de la somme

Seuls les k pour lesquels x[k] et h[n − k] existent tous deux contribuent.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Les additionner

y[1] = −5

Réponse

y[1] = −5
Exemple 2Moyen
x(t)t11h(t)t1

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 1 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

Calculer y(2.5)

Afficher les indices
  1. Écrivez l’impulsion comme un échelon en t = 0 moins un échelon en t = 1 s.
  2. La réponse indicielle est (A/a)(1 − e−at).
  3. Après l’impulsion : y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convolution continue : y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. On retourne h, on la fait glisser jusqu’à la position t et on intègre le produit des parties qui se recouvrent. Pour des signaux causaux, l’intégrale va de 0 à t. Résultats utiles : l’aire de y est l’aire de x multipliée par l’aire de h ; si x dure de t₁ à t₂ et h de t₃ à t₄, y dure de t₁ + t₃ à t₂ + t₄. Pour h(t) = e−atu(t) et un échelon de hauteur A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).

Sortie à la fin de l’impulsion

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

Décroissance après l’impulsion

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

Réponse

y(2,5) = 0,02152
Exemple 3Difficile
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,05 s, h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

Calculer h(0.05)

Afficher les indices
  1. Prenez les transformées de Laplace avec des conditions initiales nulles : (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Réponse impulsionnelle et série de Fourier : la réponse impulsionnelle h(t) décrit entièrement un système LTI : pour y′ + a·y = b·x, c’est h(t) = b·e−atu(t), et pour y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n], c’est h[n] = b·aⁿu[n]. Une sinusoïde cos ωt traverse le système avec le gain |H(jω)| et la phase ∠H(jω), où H est la transformée de Fourier de h. Un signal périodique est une somme d’harmoniques en k/T : un signal carré de ±A n’a que des harmoniques impairs d’amplitudes 4A/(kπ), un signal triangulaire de crête A a 8A/(π²k²), et un train d’impulsions de hauteur A et de rapport cyclique D a pour moyenne A·D et pour harmoniques (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Fonction de transfert

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

Réponse impulsionnelle

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

Réponse

h(0,05) = 2,336

Questions et réponses

Convolution et systèmes LTI : de quoi s’agit-il ?

Un système linéaire invariant dans le temps (LTI) est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle h : la sortie qu’il donne lorsque l’entrée est une seule impulsion brève.

Toute entrée peut être vue comme une suite d’impulsions pondérées et décalées. Chaque impulsion produit une copie pondérée et décalée de h, et la sortie est la somme de toutes les copies. Cette somme est la convolution y = x ∗ h.

Convolution et systèmes LTI : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Esquissez les deux signaux et notez où chacun est non nul.
  2. Retournez h et faites-la glisser : pour chaque instant de sortie, trouvez la plage où les deux signaux se recouvrent.
  3. Multipliez et additionnez (cas discret) ou multipliez et intégrez (cas continu) sur ce seul recouvrement.
  4. Vérifiez le résultat : la sortie commence à la somme des instants de début, se termine à la somme des instants de fin, et son aire ou sa somme est le produit des aires ou des sommes des entrées.
Convolution et systèmes LTI : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Multiplier les deux signaux échantillon par échantillon au lieu d’en faire la convolution.
  • Décaler h sans la retourner, ce qui donne la corrélation.
  • Utiliser une formule de réponse indicielle là où la réponse impulsionnelle est demandée, ou l’inverse.
  • Se tromper sur le rang de l’harmonique : la composante à k/T est l’harmonique de rang k.
Convolution et systèmes LTI : que couvrent les exercices ?
  • Facile: convolution discrète
  • Moyen: convolution continue
  • Difficile: réponse impulsionnelle et série de Fourier

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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Intégrales

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