Signaux et systèmes : exercices et sujets d’examen

Des signaux continus et discrets traversant des systèmes linéaires invariants dans le temps : convolution, réponses impulsionnelle et indicielle, transformée de Laplace, réponse en fréquence et séries de Fourier. Les examens mêlent esquisses et calculs courts.

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Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

  1. Convolution et systèmes LTIconvolution discrète · convolution continue · réponse impulsionnelle et série de Fouriercalculs
  2. Transformées de Laplacetables de couples et théorèmes des valeurs · transformée inverse par éléments simples · Équations différentielles et fonctions de transfertcalculs
  3. Réponse indiciellesystèmes du premier ordre · paramètres du second ordre · systèmes physiques et conceptioncalculs
  4. Diagrammes de Bode et margesfiltres et asymptotes · module et phase · marges de stabilitécalculs

Conseils pour l’examen de Signaux et systèmes

  • Esquissez les signaux avant de faire la convolution : le recouvrement vous donne les bornes de la somme ou de l’intégrale.
  • La sortie d’un système LTI commence à la somme des instants de début et se termine à la somme des instants de fin.
  • Une sinusoïde ressort avec la même fréquence, multipliée par |H(jω)| et déphasée de ∠H(jω).

Exemples corrigés

Convolution et systèmes LTIFacile
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

Les suites x[n] = {4, −3, −2} et h[n] = {3, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez l’échantillon y[1] de la convolution y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

Calculer y[1]

Afficher les indices
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. Pour n = 1, les termes correspondent à k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convolution discrète : la sortie d’un système linéaire invariant dans le temps est y[n] = Σk x[k]·h[n − k] : on retourne h, on la décale de n, on multiplie échantillon par échantillon avec x et on additionne. Si x a Lx échantillons à partir de nx et h a Lh échantillons à partir de nh, alors y a Lx + Lh − 1 échantillons à partir de nx + nh. La somme de tous les échantillons de y est égale à (Σx)·(Σh). Un filtre RIF y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … est une convolution avec h[n] = bn.

Termes de la somme

Seuls les k pour lesquels x[k] et h[n − k] existent tous deux contribuent.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

Les additionner

y[1] = −5

Réponse

y[1] = −5
Transformées de LaplaceMoyen
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Sa transformée inverse a la forme f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Trouvez le coefficient A par décomposition en éléments simples.

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

Calculer A

Afficher les indices
  1. Factorisez le dénominateur : s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
  2. Méthode des résidus : A = [(s + 6)·F(s)] en s = −6.
  3. En s = −6 : numérateur 16, autre facteur 2.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Transformée de Laplace : F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt transforme les dérivées en multiplications par s : ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Couples usuels : 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), et un décalage s → s + σ multiplie la fonction du temps par e−σt. Pour inverser une F(s) rationnelle, décomposez-la en éléments simples : le résidu d’un pôle simple p est A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Théorème de la valeur finale : f(∞) = lims→0 s·F(s), valable seulement si tous les pôles de s·F(s) sont dans le demi-plan gauche. Théorème de la valeur initiale : f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).

Factoriser le dénominateur

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

Méthode des résidus

Multipliez par (s + 6) et posez s = −6 : le terme en B disparaît.

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

Réponse

A = 8
(B = −7, donc f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)

Comment fonctionne l’entraînement

  • « S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de transformée de Laplace inverse (décomposition en éléments simples)Calculatrice de décibels (dB, dBm et niveaux sonores)Calculatrice de diagramme de Bode (marge de gain et marge de phase)Calculatrice de transformée de Laplace

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