Calculatrice de transformée de Laplace inverse (décomposition en éléments simples)
Saisissez vos valeurs. La réponse et la solution détaillée se mettent à jour pendant la saisie.
Résultat
Trouvez la transformée de Laplace inverse d’une fraction rationnelle F(s) = N(s)/D(s). Saisissez les coefficients du numérateur et du dénominateur, puissance de s la plus haute en premier. La calculatrice simplifie les facteurs communs, effectue la division d’une fraction impropre, trouve les pôles, calcule chaque coefficient de la décomposition (pour des pôles simples, multiples et complexes) et écrit f(t) comme une somme d’exponentielles, de puissances de t, de sinus et de cosinus.
Corrigé pas à pas
Écrire F(s) comme un quotient de polynômes
Pôles : racines du dénominateur
Décomposition en éléments simples
Couples de transformées utilisés
Transformée de Laplace inverse
Comment trouver une transformée de Laplace inverse par décomposition en éléments simples
- Vérifiez que F(s) est propre : si le degré du numérateur n’est pas inférieur à celui du dénominateur, effectuez d’abord la division. La partie polynomiale donne des impulsions δ(t), δ′(t), etc.
- Factorisez le dénominateur pour trouver les pôles : un pôle réel a donne un facteur (s − a), une paire complexe a ± bj donne (s − a)² + b².
- Écrivez F(s) comme une somme d’éléments simples et trouvez les coefficients. Pour un pôle simple, A = [(s − a)·F(s)] en s = a (méthode du recouvrement) ; les pôles multiples demandent des dérivées.
- Transformez chaque terme avec la table : 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! et (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Additionnez les termes pour obtenir f(t) pour t ≥ 0.
Questions et réponses
Comment saisir F(s) ?
Tapez les coefficients de chaque polynôme de la plus haute puissance de s vers le bas, séparés par des espaces, avec des zéros pour les puissances manquantes. (s + 3)/(s² + 3s + 2) correspond au numérateur 1 3 et au dénominateur 1 3 2 ; 1/(s³ + 4s) correspond au numérateur 1 et au dénominateur 1 0 4 0. Les fractions comme 1/2 et les décimaux sont acceptés.
Qu’est-ce que la méthode du recouvrement ?
Pour un pôle simple en s = a, multipliez F(s) par (s − a), simplifiez et remplacez s par a. Pour F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)), cela donne 2/1 = 2 en s = −1 et 1/(−1) = −1 en s = −2, donc f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Comment traite-t-on les pôles complexes ?
Une paire de pôles a ± bj donne un terme (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), dont l’inverse est e^(at)·(B cos bt + C sin bt). La calculatrice trouve B et C à partir du coefficient complexe A en a + bj : B = 2·Re A et C = −2·Im A.
Que faire si le degré du numérateur est trop élevé ?
Alors F(s) est impropre. La division polynomiale donne F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Le polynôme Q(s) se transforme en impulsions : une constante c donne c·δ(t), c·s donne c·δ′(t), et ainsi de suite. La partie propre R(s)/D(s) se décompose en éléments simples comme d’habitude.
Quelle est la précision des résultats ?
Les facteurs communs et les facteurs multiples sont trouvés exactement, avec des fractions. Les racines et les coefficients sont ensuite calculés numériquement avec environ 14 chiffres et affichés avec 4 chiffres significatifs ; les pôles irrationnels, comme ceux de s² + s + 1, apparaissent donc sous forme décimale.
Pourquoi f(t) n’est-elle valable que pour t ≥ 0 ?
La transformée de Laplace unilatérale n’utilise que les valeurs de f pour t ≥ 0. À proprement parler, le résultat est f(t)·u(t), où u est l’échelon unité, donc f(t) = 0 pour t < 0.
Entraînez-vous
S’entraîner : Transformées de Laplace
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.