Calculatrice de transformée de Laplace
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Résultat
Trouvez la transformée de Laplace d’une fonction composée de termes usuels : puissances de t, exponentielles, sinus et cosinus (avec une phase), sinh et cosh, échelons décalés u(t − c) et impulsions δ(t − c). La calculatrice transforme chaque terme avec la table standard et les théorèmes du décalage, indique quelles entrées elle a utilisées, et donne F(s) avec son domaine de convergence.
Corrigé pas à pas
Transformer chaque terme
Entrées de la table utilisées
Additionner les transformées (linéarité)
Comment trouver une transformée de Laplace avec la table
- Décomposez f(t) en une somme de termes ; la transformée de Laplace est linéaire.
- Utilisez les couples de base : L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) et L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Multiplier par e^(at) décale s : L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Un terme retardé g(t)·u(t − c) se transforme en e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- Additionnez les transformées des termes ; F(s) existe pour Re(s) supérieur au plus grand exposant a.
Questions et réponses
Comment saisir f(t) ?
Par exemple 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Utilisez ^ pour les puissances, e^(at) ou exp(at) pour les exponentielles, u(t-c) pour un échelon et δ(t-c) ou delta(t-c) pour une impulsion. Une phase est acceptée, comme dans sin(2t + 1).
Quelle est la différence entre t·u(t − 1) et (t − 1)·u(t − 1) ?
La seconde est une rampe retardée et se transforme en e^(−s)/s². La première est t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1), qui se transforme en e^(−s)(1/s² + 1/s). La calculatrice traite les deux en écrivant g(t + c).
Comment transforme-t-on t·sin(ωt) et t·cos(ωt) ?
Par L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹ : la partie imaginaire donne le sinus et la partie réelle le cosinus, par exemple L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Qu’est-ce que le domaine de convergence ?
Les valeurs de s pour lesquelles l’intégrale de la transformée converge : Re(s) supérieur au plus grand taux de croissance dans f(t). Pour e^(3t), c’est Re(s) > 3.
Puis-je saisir un produit de deux sinus ?
Pas directement. Réécrivez-le d’abord avec une formule de linéarisation (produit en somme), par exemple sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Entraînez-vous
S’entraîner : Transformées de Laplace
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.