Intégrales : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : calcul intégral · primitives · intégration par parties
Exercices gratuits sur Intégrales avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : polynômes, exponentielles, logarithmes et changement de variable, aires entre courbes.
Apprendre Intégrales depuis zéro
Avant cela : Dérivées
1Ce qu’est une intégrale
Une intégrale additionne une grandeur qui varie. L’image la plus claire est une aire sous une courbe.
Une voiture roule à 20 m/s pendant 5 s. Elle parcourt 20 · 5 = 100 m. Sur un graphique vitesse–temps, c’est l’aire du rectangle sous la droite.
Quand la vitesse change, la forme sous la courbe est incurvée, mais l’idée est la même : l’aire est la distance.
On note l’aire sous f entre x = a et x = b :
∫ab f(x) dx
Les nombres a et b sont les bornes de l’intégrale. Le dx indique que x est la variable.
Auto-évaluation Un cycliste roule à 10 m/s constants pendant 4 s. Quelle est l’aire sous le graphique vitesse–temps ?
- 10 m
- 14 m
- 2,5 m
- 40 m
Réponse: 40 m. L’aire est un rectangle : hauteur 10 m/s fois largeur 4 s donne 40 m. Diviser 10 par 4 donne 2,5, ce qui n’est pas une aire.
2Primitives et règle des puissances
L’intégration est la dérivation à l’envers. Une primitive F de f est une fonction dont la dérivée est f.
Comme (x³)′ = 3x², une primitive de 3x² est x³. On peut ajouter n’importe quelle constante, donc on écrit ∫3x² dx = x³ + C.
La règle des puissances pour les intégrales : augmentez la puissance de un, puis divisez par la nouvelle puissance.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
- Un facteur constant reste devant : ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
- Une constante seule : ∫4 dx = 4x + C.
- Dans une somme, intégrez chaque terme séparément.
Apprenez aussi : ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x et ∫sin x dx = −cos x.
Vous pouvez toujours vérifier une primitive : dérivez-la, et vous devez retrouver la fonction de départ.
Auto-évaluation Combien vaut ∫6x² dx ?
- 12x + C
- 2x³ + C
- 3x³ + C
- 6x³ + C
Réponse: 2x³ + C. Augmentez la puissance à 3 et divisez par 3 : 6x³/3 = 2x³. 12x est la dérivée, pas l’intégrale, et 6x³ oublie de diviser par la nouvelle puissance.
3Intégrales définies et aires
Une intégrale définie a des bornes et donne un nombre. Trouvez une primitive F, puis soustrayez ses valeurs aux deux bornes.
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
La constante C disparaît dans la soustraction, vous pouvez donc l’omettre ici.
Exemple : ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, car ln 1 = 0.
Le changement de variable aide quand une fonction est contenue dans une autre. Pour e0,5x, posez u = 0,5x. Le résultat est la règle ci-dessus : divisez par 0,5.
∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963
L’aire entre deux courbes est l’intégrale de la courbe du haut moins la courbe du bas, entre les points où elles se rencontrent.
Pour y = 2x et y = x², les courbes se rencontrent en x = 0 et x = 2. Sur cet intervalle, 2x est au-dessus.
A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Auto-évaluation Les courbes y = x et y = x² se rencontrent en x = 0 et x = 1. Entre elles, y = x est au-dessus. Quelle est l’aire délimitée ?
- 1/2
- 1/6
- 5/6
- −1/6
Réponse: 1/6. ∫(x − x²) dx de 0 à 1 vaut 1/2 − 1/3 = 1/6. Prendre le bas moins le haut donne −1/6, et additionner les deux intégrales donne 5/6.
4La méthode pas à pas
- Réécrivez la fonction comme une somme de termes simples. Écrivez les racines et les fractions sous forme de puissances : √x = x1/2.
- Trouvez une primitive de chaque terme avec la règle des puissances ou une intégrale usuelle.
- Vérifiez rapidement en dérivant de tête.
- Pour une intégrale définie, calculez F(b) et F(a) séparément.
- Soustrayez : F(b) − F(a). Attention aux signes moins quand a est négatif.
Pour une aire entre courbes, résolvez d’abord f(x) = g(x) pour trouver les bornes, puis intégrez haut moins bas.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détailléCalculez I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.
13x² donne 3x³/3 = x³. 2x donne 2x²/2 = x². La constante 1 donne x.
F(x) = x³ + x² + x
2F′(x) = 3x² + 2x + 1
C’est la fonction de départ, donc F est correcte.
5I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
L’intégrale est l’aire grisée sous la courbe entre x = 0 et x = 2.
6Erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par la nouvelle puissance.
- Dériver au lieu d’intégrer : diminuer la puissance au lieu de l’augmenter.
- Écrire ∫1/x dx comme x⁰/0. La règle des puissances ne fonctionne pas pour n = −1 ; utilisez ln|x|.
- Oublier les signes moins dans F(a) quand a est négatif, par exemple (−1)³ = −1.
- Oublier + C dans une intégrale indéfinie, ou ne pas changer les bornes après un changement de variable.
Auto-évaluation Combien vaut ∫02 x³ dx ?
- 12
- 16
- 4
- 8
Réponse: 4. F(x) = x⁴/4, donc F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Oublier de diviser par la nouvelle puissance 4 donne 16.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
- Facile : une intégrale définie d’un polynôme, parfois avec des bornes négatives. Utilisez la règle des puissances et F(b) − F(a).
- Moyen : exponentielles, logarithmes et changement de variable, comme ∫e0,5x dx ou ∫3/x dx entre deux bornes.
- Difficile : l’aire délimitée par deux courbes, comme y = x² et y = 4x. Trouvez où elles se rencontrent, puis intégrez haut moins bas.
Une vérification rapide : l’aire délimitée par deux courbes est toujours positive. Si vous obtenez un nombre négatif, vous avez soustrait dans le mauvais ordre.
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