Aussi appelé : formule de Moivre · forme trigonométrique
Exercices gratuits sur Nombres complexes avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : calcul en forme rectangulaire, forme polaire et exponentielle, De Moivre, racines et équations.
Exercice gratuitFacile
Pour z₁ = 1 + j4 et z₂ = 5 + j6, trouvez la partie imaginaire de w = 2z₁ + 5z̄₂.
Comment résoudre les exercices de Nombres complexes
Décidez quelle forme convient à l’opération : rectangulaire a + jb pour additionner et soustraire, polaire r∠θ pour multiplier, diviser, élever à une puissance et extraire des racines.
Développez avec j² = −1 ; divisez en multipliant le haut et le bas par le conjugué du dénominateur.
Convertissez avec r = √(a² + b²) et θ d’après une esquisse du point (vérifiez le quadrant), et revenez avec a = r cos θ, b = r sin θ.
Pour les puissances, utilisez De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ ; pour zⁿ = R∠φ, listez les n racines R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Erreurs fréquentes
Traiter j² comme +1 en développant.
Diviser séparément les parties réelle et imaginaire.
Prendre atan(b/a) comme argument pour un point du demi-plan de gauche.
Mélanger degrés et radians, surtout dans ejθ.
Ne donner qu’une seule racine de zⁿ = w, ou oublier de prendre la racine n-ième du module.
Formules clés
Forme rectangulaire
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Module et argument
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
L’équation x² = −1 n’a pas de solution réelle. Les ingénieurs ajoutent un nouveau nombre j tel que j² = −1. Les mathématiciens écrivent i ; l’ingénierie utilise j parce que i désigne déjà le courant.
Un nombre complexe a la forme z = a + jb. Le nombre a est la partie réelle et b la partie imaginaire : Re(z) = a et Im(z) = b.
Vous pouvez représenter z comme le point (a, b) dans le plan d’Argand : la partie réelle sur l’axe horizontal, la partie imaginaire sur l’axe vertical.
La distance à l’origine est le module |z| = √(a² + b²). L’angle depuis l’axe réel positif est l’argument θ. L’image miroir par rapport à l’axe réel, z̄ = a − jb, est le conjugué.
Auto-évaluation Quel est le module de z = 3 − j4 ?
25
5
7
−1
Réponse: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Additionner 3 et 4 donne 7, et oublier la racine carrée donne 25.
2Additionner, multiplier et diviser
Additionnez et soustrayez partie par partie : (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Multipliez en développant les parenthèses et en remplaçant j² par −1 :
Réponse: 2. C’est un nombre multiplié par son conjugué : 1² + 1² = 2. Écrire 1 − j² comme 1 − 1 = 0 oublie que j² = −1, donc −j² = +1.
3Forme polaire et exponentielle
Un point peut aussi être donné par sa distance et son angle : z = r∠θ, avec r = |z| et θ = arg z. Retour à la forme rectangulaire avec a = r cos θ et b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
La dernière forme utilise la formule d’Euler ejθ = cos θ + j sin θ. En forme exponentielle, θ doit être en radians.
Attention au quadrant. Une calculatrice donne atan(b/a) entre −90° et 90°. Si a < 0, le point est à gauche, donc ajoutez ou soustrayez 180°.
Exemple : z = −2 + j2. Alors r = √8 = 2,828. L’angle de référence est atan(2/2) = 45°, et le point est dans le deuxième quadrant, donc θ = 180° − 45° = 135°.
Auto-évaluation Quel est l’argument de z = −1 − j, entre −180° et 180° ?
135°
45°
−135°
−45°
Réponse: −135°. Le point est dans le troisième quadrant. L’angle de référence est 45°, donc θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° désigne le quadrant opposé.
4Multiplication en forme polaire, puissances et racines
En forme polaire, la multiplication est facile : multipliez les modules et additionnez les arguments. Pour une division, divisez les modules et soustrayez les arguments.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
En répétant cela, on obtient le théorème de De Moivre : (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
L’équation zⁿ = R∠φ a exactement n racines. Elles ont toutes pour module R1/n et pour arguments (φ + 360°·k)/n pour k = 0, 1, …, n − 1.
Pour z³ = 8 = 8∠0° : le module est 2 et les arguments sont 0°, 120° et 240° (c’est-à-dire −120°). Les racines forment un triangle équilatéral sur le cercle.
Une équation du second degré z² + pz + q = 0 avec p² < 4q a les racines complexes −p/2 ± j√(q − p²/4). Les polynômes réels ont toujours leurs racines complexes par paires conjuguées.
5Un exemple détaillé
Les puissances de nombres comme 1 + j sont bien plus rapides en forme polaire qu’en développant.
Exemple détaillé
Calculez (1 + j)6 avec le théorème de De Moivre.
1
Écrire 1 + j en forme polaire
r = √(1² + 1²) = √2. Le point est dans le premier quadrant, donc θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Appliquer De Moivre
Élevez le module à la puissance 6 et multipliez l’angle par 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Ramener l’angle dans l’intervalle
270° est la même direction que −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Retour à la forme rectangulaire
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Réponse
(1 + j)6 = −j8 : partie réelle 0, partie imaginaire −8.
6Erreurs fréquentes et questions d’examen
Oublier que j² = −1 en développant, si bien qu’un terme se retrouve avec le mauvais signe.
Diviser partie par partie : (a + jb)/(c + jd) n’est pas a/c + jb/d. Utilisez le conjugué.
Prendre atan(b/a) comme argument quand a < 0. Esquissez d’abord le point.
Utiliser des degrés dans ejθ, ou laisser la calculatrice en radians pour r∠θ donné en degrés.
Dans De Moivre : oublier d’élever le module à la puissance, ou ne donner qu’une seule racine de zⁿ = w.
Les questions faciles demandent une partie d’un produit, d’un quotient ou d’une somme. Les moyennes convertissent entre les formes rectangulaire, polaire et exponentielle. Les difficiles utilisent De Moivre, les racines n-ièmes et les équations polynomiales.
Auto-évaluation z₁ = 2∠30° et z₂ = 4∠50°. Que vaut z₁·z₂ ?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Réponse: 8∠80°. Multipliez les modules (2·4 = 8) et additionnez les arguments (30° + 50° = 80°). Additionner les modules donne 6, et multiplier les angles n’a pas de sens.
Pour z₁ = −7 + j et z₂ = 4 + j2, trouvez la partie réelle du produit z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Calculer Re(z₁z₂)
Afficher les indices
Développez les parenthèses comme (a + b)(c + d), ce qui donne quatre termes.
Remplacez j² par −1 pour que l’un des quatre termes devienne réel.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Nombres complexes : z = a + jb a pour partie réelle a et pour partie imaginaire b, avec j² = −1 (les mathématiciens écrivent i). Additionnez et soustrayez partie par partie ; développez les parenthèses et remplacez j² par −1 ; divisez en multipliant le haut et le bas par le conjugué du dénominateur, z̄ = a − jb, car z·z̄ = a² + b² est réel. Dans le plan d’Argand, z est le point (a, b) : sa distance à l’origine est le module |z| = √(a² + b²), et l’angle depuis l’axe réel positif est l’argument θ.
Écrivez z = 4∠160° sous forme rectangulaire a + jb et donnez la partie imaginaire b.
r = 4θ = 160°
Calculer b
Afficher les indices
a = r·cos θ et b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Multipliez par r = 4.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Forme polaire : z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, avec r = |z| et θ = arg z. Retour à la forme rectangulaire : a = r cos θ, b = r sin θ. L’argument demande le quadrant : θ = atan(b/a) seulement quand a > 0 ; pour a < 0, ajoutez ou soustrayez 180°. En forme polaire la multiplication est facile : multipliez les modules et additionnez les arguments ; pour une division, divisez les modules et soustrayez les arguments.
Composantes
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Forme rectangulaire
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Réponse
b = 1,368
Exemple 3Difficile
Les racines de zⁿ = w avec n = 4 et w = 16∠−60° sont zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Trouvez la partie réelle de z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Calculer Re(z₂)
Afficher les indices
Chaque racine a pour module R1/n = 161/4 = 2.
L’argument de z₂ est (φ + 360°·k)/n avec φ = −60°, k = 2 et n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Afficher la réponse et la solution pas à pas
De Moivre et racines : (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. L’équation zⁿ = R∠φ a exactement n racines, toutes de module R1/n, aux arguments (φ + 360°·k)/n pour k = 0, 1, …, n − 1 : elles sont régulièrement réparties sur un cercle, espacées de 360°/n. Une équation du second degré z² + pz + q = 0 avec p² < 4q a les racines complexes z = −p/2 ± j√(q − p²/4) ; un polynôme à coefficients réels a toujours ses racines complexes par paires conjuguées a ± jb.
Module des racines
161/4 = 2
Argument de la racine
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Forme rectangulaire
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Réponse
Re(z₂) = −1,932
Les 4 racines sont sur le cercle de rayon 2, espacées de 90°.
Questions et réponses
Nombres complexes : de quoi s’agit-il ?
L’équation x² = −1 n’a pas de solution réelle. Les ingénieurs ajoutent un nouveau nombre j tel que j² = −1. Les mathématiciens écrivent i ; l’ingénierie utilise j parce que i désigne déjà le courant.
Un nombre complexe a la forme z = a + jb. Le nombre a est la partie réelle et b la partie imaginaire : Re(z) = a et Im(z) = b.
Nombres complexes : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Décidez quelle forme convient à l’opération : rectangulaire a + jb pour additionner et soustraire, polaire r∠θ pour multiplier, diviser, élever à une puissance et extraire des racines.
Développez avec j² = −1 ; divisez en multipliant le haut et le bas par le conjugué du dénominateur.
Convertissez avec r = √(a² + b²) et θ d’après une esquisse du point (vérifiez le quadrant), et revenez avec a = r cos θ, b = r sin θ.
Pour les puissances, utilisez De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ ; pour zⁿ = R∠φ, listez les n racines R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Nombres complexes : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Traiter j² comme +1 en développant.
Diviser séparément les parties réelle et imaginaire.
Prendre atan(b/a) comme argument pour un point du demi-plan de gauche.
Mélanger degrés et radians, surtout dans ejθ.
Ne donner qu’une seule racine de zⁿ = w, ou oublier de prendre la racine n-ième du module.
Nombres complexes : que couvrent les exercices ?
Facile: calcul en forme rectangulaire
Moyen: forme polaire et exponentielle
Difficile: De Moivre, racines et équations
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.