Résolution d’équation du second degré (ax² + bx + c = 0)
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Résultat
Résolvez toute équation du second degré ax² + bx + c = 0. La calculatrice détermine le discriminant, applique la formule quadratique et donne les racines à la fois en décimaux et sous forme exacte, en fractions ou en racines carrées simplifiées comme 2 ± √3, y compris les racines complexes. Elle trouve aussi le sommet, l’axe de symétrie et la forme factorisée, et vérifie les racines avec les formules de Viète.
Corrigé pas à pas
Identifier a, b et c
Discriminant
Formule du second degré
Sommet et axe de symétrie
Forme factorisée
Vérifier avec les relations de Viète
Formules clés
- Équation du second degré avec p² < 4q
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
Comment résoudre une équation du second degré
- Écrivez l’équation sous la forme standard ax² + bx + c = 0 et relevez a, b et c, avec leurs signes.
- Calculez le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux racines réelles, si Δ = 0 une racine double, et si Δ < 0 deux racines complexes conjuguées.
- Utilisez la formule quadratique x = (−b ± √Δ)/(2a). Simplifiez la racine carrée en sortant les facteurs carrés : √12 = 2√3.
- Pour Δ < 0, écrivez √Δ = i·√|Δ|, donc les racines sont −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
- Le sommet de la parabole y = ax² + bx + c est en x = −b/(2a) ; remplacez pour trouver l’ordonnée.
- Vérifiez : la somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a.
Questions et réponses
Quand puis-je factoriser au lieu d’utiliser la formule ?
Quand le discriminant est un carré parfait et que les coefficients sont entiers, les racines sont rationnelles et le trinôme se factorise sur les entiers, comme 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Sinon, la formule quadratique est la méthode fiable.
Que signifie un discriminant négatif ?
La parabole ne coupe pas l’axe des x, donc il n’y a pas de racine réelle. Les deux racines sont des complexes conjugués p ± qi, qui interviennent par exemple dans les vibrations amorties et l’analyse des circuits.
Qu’est-ce que la forme canonique ?
y = a(x − h)² + k, où (h, k) est le sommet. Elle montre directement le minimum (a > 0) ou le maximum (a < 0) de la parabole et s’obtient en complétant le carré.
Et si a = 0 ?
L’équation est alors linéaire, bx + c = 0, avec l’unique solution x = −c/b. La formule quadratique diviserait par zéro, donc la calculatrice demande un a non nul.
Pourquoi la calculatrice donne-t-elle des racines exactes ?
Les examens demandent souvent des réponses comme (3 ± √17)/4 plutôt que des décimaux. Quand a, b et c sont des entiers ou des décimaux, la calculatrice travaille avec des fractions exactes et simplifie la racine carrée.
Entraînez-vous
S’entraîner : Nombres complexes
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.