Calculatrice de loi binomiale
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Résultat
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Calculez des probabilités binomiales pour n essais indépendants qui réussissent chacun avec la probabilité p : exactement x succès, au plus x, au moins x, moins de x ou plus de x. La calculatrice affiche la formule binomiale, chaque terme additionné (ou le complémentaire, plus court), l’espérance np et l’écart type √(np(1 − p)). Pour n jusqu’à 30, elle présente aussi toute la loi dans un tableau.
Corrigé pas à pas
Formule de la probabilité binomiale
Additionner les probabilités
Espérance et écart type
Formules clés
- Loi binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Complémentaire
- P(not A) = 1 − P(A)
Comment calculer des probabilités binomiales
- Vérifiez que la situation est binomiale : un nombre fixe d’essais n, deux issues par essai, la même probabilité de succès p à chaque fois et des essais indépendants.
- Pour exactement x succès, utilisez P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, où C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) compte les ordres dans lesquels les succès peuvent survenir.
- Pour « au plus x », additionnez P(X = 0) jusqu’à P(X = x). Pour « au moins x », additionnez P(X = x) jusqu’à P(X = n).
- Si la somme comporte beaucoup de termes, utilisez le complémentaire : P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Traduisez les mots avec soin : « moins de 4 » signifie X ≤ 3 et « plus de 4 » signifie X ≥ 5.
Questions et réponses
Quelles sont l’espérance et l’écart type d’une loi binomiale ?
L’espérance vaut μ = np et la variance σ² = np(1 − p), donc l’écart type est σ = √(np(1 − p)). Pour n = 10 et p = 0,3, cela donne μ = 3 et σ = 1,449.
Quelle est la différence entre « au moins » et « plus de » ?
« Au moins 3 » inclut 3 : P(X ≥ 3). « Plus de 3 » ne l’inclut pas : P(X > 3) = P(X ≥ 4). Pour une loi discrète, ce sont des nombres différents ; choisissez donc l’option qui correspond à l’énoncé de la question.
Pourquoi la calculatrice utilise-t-elle parfois le complémentaire ?
Comme toutes les probabilités ont pour somme 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Quand le complémentaire comporte moins de termes, il est plus rapide à la main, et les étapes montrent ce chemin. Le résultat est le même.
Jusqu’où n peut-il aller ?
Jusqu’à 10 000 essais. Les termes sont calculés avec des logarithmes, si bien que les grandes factorielles ne provoquent pas de dépassement et que les probabilités restent précises.
Quand la loi binomiale n’est-elle pas le bon modèle ?
Quand les essais ne sont pas indépendants ou que p change, par exemple lorsque vous tirez sans remise dans un petit groupe : on utilise alors la loi hypergéométrique. Quand n est grand et p petit, la loi de Poisson de paramètre λ = np en est une bonne approximation.
Entraînez-vous
S’entraîner : Probabilités
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.