Calculatrice d’arrangements et de combinaisons (nPr et nCr)
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Résultat
Comptez les façons de choisir r éléments parmi n. Les arrangements, nPr, comptent les dispositions ordonnées ; les combinaisons, nCr, comptent les sélections où l’ordre ne compte pas. La calculatrice donne aussi les dénombrements quand les éléments peuvent être répétés, et elle travaille avec des nombres entiers exacts pour n et r jusqu’à 1000 : les étapes montrent chaque chiffre, même pour de très grands résultats.
Corrigé pas à pas
Arrangements : l’ordre compte
Combinaisons : l’ordre ne compte pas
Avec répétition autorisée
Formules clés
- Arrangements
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Combinaisons
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- Avec répétition
- nr si l’ordre compte, C(n + r − 1, r) sinon
Comment calculer des arrangements et des combinaisons
- Décidez si l’ordre compte. Placer des personnes en file, attribuer le premier et le deuxième prix ou former un code : l’ordre compte, utilisez donc des arrangements. Choisir une équipe ou une main de cartes : l’ordre ne compte pas, utilisez donc des combinaisons.
- Arrangements : nPr = n!/(n − r)!, le produit des r facteurs n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Combinaisons : nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. La division par r! supprime les r! ordres de chaque sélection.
- Avec répétition autorisée, les choix ordonnés donnent nʳ et les choix non ordonnés donnent C(n + r − 1, r).
- Vérifiez sur un petit cas : C(4, 2) = 6 et P(4, 2) = 12, car chaque paire peut s’écrire de 2 façons ordonnées.
Questions et réponses
Quelle est la différence entre un arrangement et une combinaison ?
Un arrangement est une disposition ordonnée et une combinaison est une sélection non ordonnée. Avec les lettres A, B et C, vous pouvez former 6 paires ordonnées (AB, BA, AC, CA, BC, CB) mais seulement 3 paires non ordonnées ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Pourquoi C(n, r) est-il égal à C(n, n − r) ?
Choisir les r éléments que l’on prend revient à choisir les n − r éléments que l’on laisse. Par exemple, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Que vaut 0! ?
0! = 1. Cela fait fonctionner les formules aux bords : C(n, 0) = C(n, n) = 1, car il n’y a qu’une seule façon de ne rien choisir ou de tout choisir.
Que sont les combinaisons avec répétition ?
Des choix non ordonnés où un même élément peut être pris plusieurs fois, comme 3 boules à choisir parmi 10 parfums de glace. Le nombre est C(n + r − 1, r), soit C(12, 3) = 220 pour cet exemple.
Où utilise-t-on les combinaisons en probabilités ?
Dans la formule binomiale, C(n, x) compte les ordres dans lesquels x succès peuvent survenir en n essais. Au loto et dans les jeux de cartes, la probabilité d’une main est le nombre de combinaisons favorables divisé par le nombre total de combinaisons.
Entraînez-vous
S’entraîner : Probabilités
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.