Calculatrice de loi normale
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Résultat
Trouvez des probabilités pour toute loi normale N(μ, σ²) : l’aire à gauche ou à droite d’une valeur, entre deux valeurs, ou dans les deux queues. Les modes inverses remontent d’une aire à la valeur x, ce qui permet de trouver des percentiles et des seuils. Chaque réponse indique les scores z et les valeurs de Φ utilisées, pour que vous puissiez les vérifier avec une table de la loi normale centrée réduite.
Corrigé pas à pas
Centrer-réduire
Aires sous la courbe normale centrée réduite
Formules clés
- Score z
- z = (x − μ)/σ
- En dessous de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Au-dessus de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre deux valeurs
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Centile
- x = μ + z·σ
Comment trouver une probabilité d’une loi normale
- Notez l’espérance μ et l’écart type σ. Si l’on vous donne la variance σ², prenez d’abord sa racine carrée.
- Centrez et réduisez chaque valeur avec z = (x − μ)/σ. Le score z indique de combien d’écarts types la valeur se situe au-dessus ou en dessous de la moyenne.
- Cherchez Φ(z), l’aire à gauche de z sous la courbe normale centrée réduite, dans une table ou avec une calculatrice.
- Combinez les aires : P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) et P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Pour remonter d’une aire à la valeur, trouvez le z tel que Φ(z) soit égal à l’aire à gauche, puis revenez à x avec x = μ + z·σ.
Questions et réponses
Quelle est la différence entre P(X < a) et P(X ≤ a) ?
Pour une loi continue comme la loi normale, il n’y en a aucune. La probabilité d’une valeur exacte est nulle, donc P(X < a) = P(X ≤ a). Il en va autrement pour les lois discrètes comme la loi binomiale et la loi de Poisson.
Comment trouver un percentile d’une loi normale ?
Utilisez le mode inverse avec une aire à gauche. Le 90e percentile est la valeur x telle que P(X < x) = 0,90 : z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, donc x = μ + 1,2816σ. Pour un seuil des 10 % supérieurs, utilisez l’aire à droite 0,10, qui donne la même valeur.
Que dit la règle 68–95–99,7 ?
Environ 68 % d’une loi normale se trouve à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95 % à moins de deux (plus précisément 1,96σ) et environ 99,7 % à moins de trois. C’est un moyen rapide de vérifier qu’une réponse est plausible.
Pourquoi ma table de z donne-t-elle un résultat légèrement différent ?
Une table imprimée arrondit z à deux décimales et Φ(z) à quatre. La calculatrice évalue Φ numériquement, bien plus précisément qu’une table de z imprimée, y compris loin dans les queues, et affiche le résultat avec 4 chiffres significatifs ; les réponses tirées d’une table peuvent donc différer sur le dernier chiffre.
Quand puis-je utiliser la loi normale pour un problème binomial ?
Quand np et n(1 − p) valent tous deux au moins 10 environ, une loi binomiale est proche d’une loi normale de paramètres μ = np et σ = √(np(1 − p)). Ajoutez ou retranchez 0,5 à la borne (correction de continuité). Pour une réponse exacte, utilisez la calculatrice de loi binomiale.
Entraînez-vous
S’entraîner : Loi normale
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.