Loi normale : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : loi de Gauss · loi normale centrée réduite · courbe de Gauss

Exercices gratuits sur Loi normale avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : aire dans une queue, aire entre deux valeurs, centiles.

Exercice gratuitFacile
μ = 6567,5P = ?

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion est supérieure à 67,5 points ? Donnez P(X > x) sous forme décimale.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facileaire dans une queue
  2. Moyenaire entre deux valeurs
  3. Difficilecentiles

Comment résoudre les exercices de Loi normale

  1. Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
  2. Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
  3. Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
  4. Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Erreurs fréquentes

  • Lire la table pour la mauvaise queue.
  • Oublier de diviser par σ.
  • Prendre le signe de z à l’envers pour les centiles inférieurs à 50 %.

Formules clés

Score z
z = (x − μ)/σ
En dessous de x
P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs
Φ(z2) − Φ(z1)
Centile
x = μ + z·σ

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Avant cela : Statistique descriptive

1La courbe en cloche

De nombreuses grandeurs, comme la taille, les scores de QI ou le poids des paquets issus d’une machine, suivent une loi normale. La plupart des valeurs sont proches du milieu, et les valeurs éloignées sont rares.

Le graphique est une cloche symétrique. Elle a deux paramètres : la moyenne μ, où se trouve le sommet, et l’écart type σ, qui fixe la largeur.

7085100μ115130

L’idée clé : une probabilité est une aire sous la courbe. L’aire totale vaut 1. La moitié gauche colorée a une aire de 0,5, donc la moitié de toutes les valeurs se situent sous la moyenne.

Environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un σ de la moyenne, et environ 95 % à moins de deux σ.

Auto-évaluation Le poids des paquets suit une loi normale de moyenne 500 g. Quelle fraction des paquets pèse moins de 500 g ?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Cela dépend de σ

Réponse: 0,5. La courbe est symétrique autour de la moyenne, donc exactement la moitié de l’aire se trouve sous μ, quel que soit σ. 0,68 est l’aire à moins d’un σ de part et d’autre.

2Scores z et table

Toute loi normale devient la même courbe normale centrée réduite (moyenne 0, σ = 1) quand on convertit une valeur x en score z :

z = (x − μ) / σ

La table donne Φ(z) : l’aire à gauche de z. Par exemple Φ(1,2) = 0,8849, donc 88,49 % des valeurs se situent sous z = 1,2.

  • Sous x : P(X < x) = Φ(z).
  • Au-dessus de x : P(X > x) = 1 − Φ(z), car l’aire totale vaut 1.
  • Pour un z négatif : Φ(−z) = 1 − Φ(z), par symétrie. Donc Φ(−1,2) = 0,1151.

Valeurs que vous rencontrerez souvent : Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Auto-évaluation Φ(1,2) = 0,8849. Que vaut P(Z > 1,2) ?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Réponse: 0,1151. La table donne l’aire à gauche. L’aire à droite est 1 − 0,8849 = 0,1151. Utiliser directement 0,8849 revient à lire la mauvaise queue.

3Entre deux valeurs et percentiles

Pour l’aire entre deux valeurs, soustrayez les deux aires à gauche : tout ce qui est sous la valeur supérieure, moins tout ce qui est sous la valeur inférieure.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Un percentile fonctionne à l’envers. Le 90e percentile est la valeur qui a 90 % de l’aire à sa gauche.

  • Trouvez le z tel que Φ(z) soit égal à l’aire. Pour 90 %, z = 1,2816. Pour 80 %, z = 0,8416.
  • Reconvertissez en x : x = μ + z · σ.

Pour un percentile inférieur à 50 %, z est négatif. Le 10e percentile a z = −1,2816.

Auto-évaluation Les scores de QI suivent une loi normale avec μ = 100 et σ = 15. Le z du 80e percentile est 0,8416. Quel est le 80e percentile ?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Réponse: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Avec le signe moins, on obtient 87,4, le 20e percentile ; 100,8 oublie de multiplier par σ.

4La méthode pas à pas

  1. Faites un croquis de la courbe en cloche, marquez μ et la ou les valeurs, et hachurez l’aire demandée.
  2. Convertissez chaque valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
  3. Lisez dans la table Φ(z), l’aire à gauche.
  4. Sous : Φ(z). Au-dessus : 1 − Φ(z). Entre : Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Pour un percentile, faites l’inverse : aire → z → x = μ + zσ.
  6. Comparez avec votre croquis : une aire hachurée inférieure à la moitié doit donner un nombre inférieur à 0,5.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 et d’écart type 15. Quelle fraction P se situe entre 91 et 121 ?

1

Dessinez l’aire

91x₁100121x₂

L’aire hachurée couvre le milieu et davantage le côté droit. Attendez-vous à un nombre un peu supérieur à 0,5.

2

Score z inférieur

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Score z supérieur

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Cherchez les deux aires

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Soustraire

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

C’est un peu plus que 0,5, comme le croquis le prévoyait.

Réponse

P ≈ 0,645 : environ 64,5 % des scores se situent entre 91 et 121.

6Erreurs fréquentes

  • Lire la mauvaise queue : utiliser Φ(z) quand la question demande l’aire au-dessus de x.
  • Oublier de diviser par σ dans le score z.
  • Additionner les deux aires à gauche pour un intervalle au lieu de les soustraire.
  • Utiliser le mauvais signe de z pour un percentile inférieur à 50 %.
  • Confondre σ et la variance σ². Divisez par σ, l’écart type.
Auto-évaluation Les notes d’examen suivent une loi normale avec μ = 65 et σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Quelle fraction obtient plus de 50 ?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Réponse: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, et P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 est l’aire sous 50 : la mauvaise queue. La plupart des étudiants obtiennent plus de 50, donc la réponse doit être grande.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : l’aire dans une queue. Trouvez P(X < x) ou P(X > x) avec un seul score z.
  • Moyen : l’aire entre deux valeurs, Φ(z₂) − Φ(z₁), comme dans l’exemple.
  • Difficile : percentiles. Trouvez la valeur en dessous de laquelle se situent 80 % ou 90 % des données.

Faites toujours un croquis d’abord. Dix secondes de croquis évitent la plupart des erreurs de queue.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
μ = 3236,8P = ?

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion est supérieure à 36,8 min ? Donnez P(X > x) sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Calculer P(X > x)

Afficher les indices
  1. Calculez le score z : z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. L’aire à droite vaut 1 − Φ(z).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Score z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Probabilités

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Réponse

P = 0,2119

Cela fait 21,19 %.

Exemple 2Moyen
750 g769,7 gX + Y?

X est normale de moyenne 250 g et d’écart-type 4 g ; Y est indépendante et normale de moyenne 500 g et d’écart-type 9 g. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 769,7 g. Arrondissez z à deux décimales.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Calculer P

Afficher les indices
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la somme

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Centrer-réduire

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Queue supérieure

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Réponse

P = 0,02275
Exemple 3Difficile
μ = 178x = ?20%

On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 20 % des valeurs (le 20e centile).

μ = 178σ = 7P = 20%

Calculer x (cm)

Afficher les indices
  1. Procédez à l’envers : cherchez dans la table le z tel que Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Puis x = μ + z·σ.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Retour à x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Réponse

x = 172,11 cm

Questions et réponses

Loi normale : de quoi s’agit-il ?

De nombreuses grandeurs, comme la taille, les scores de QI ou le poids des paquets issus d’une machine, suivent une loi normale. La plupart des valeurs sont proches du milieu, et les valeurs éloignées sont rares.

Le graphique est une cloche symétrique. Elle a deux paramètres : la moyenne μ, où se trouve le sommet, et l’écart type σ, qui fixe la largeur.

Loi normale : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
  2. Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
  3. Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
  4. Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.
Loi normale : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Lire la table pour la mauvaise queue.
  • Oublier de diviser par σ.
  • Prendre le signe de z à l’envers pour les centiles inférieurs à 50 %.
Loi normale : que couvrent les exercices ?
  • Facile: aire dans une queue
  • Moyen: aire entre deux valeurs
  • Difficile: centiles

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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