Exercices gratuits sur Optimisation avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : aire ou volume maximal, coût ou matière minimal, bénéfice et recette.
Exercice gratuitFacile
Un agriculteur dispose de 240 m de clôture pour enclore un champ rectangulaire le long d’une rivière rectiligne. Aucune clôture n’est nécessaire le long de la rivière. Trouvez la plus grande aire A que l’on peut clôturer.
Optimiser, c’est trouver la meilleure valeur : la plus grande aire pour une longueur de clôture donnée, le moins de métal pour une boîte de conserve, ou le profit le plus élevé.
La grandeur que l’on veut rendre la plus grande ou la plus petite possible dépend d’une variable, par exemple la largeur x d’un champ.
Imaginez son graphe. Au sommet d’une colline et au fond d’une vallée, le graphe est plat un instant. La pente y est donc nulle.
Voilà l’idée clé : en un maximum ou un minimum, la dérivée vaut 0. On trouve le meilleur x en résolvant Q′(x) = 0.
Auto-évaluation L’aire A(x) d’un champ atteint sa plus grande valeur en x = 12. Combien vaut A′(12) ?
0
La même chose que A(12)
Un nombre négatif
Un nombre positif
Réponse: 0. Au sommet du graphe, la tangente est horizontale, donc la pente est 0. Une pente positive signifierait que l’aire augmente encore.
2L’objectif et la contrainte
Tout problème d’optimisation a deux parties. Nommez-les avant de calculer quoi que ce soit.
L’objectif : la grandeur à maximiser ou à minimiser, comme une aire A ou un coût C.
La contrainte : une condition fixe, comme la longueur totale de clôture ou le volume qu’une boîte doit contenir.
L’objectif a généralement deux variables, par exemple A = x · y. On ne peut pas encore le dériver.
Utilisez la contrainte pour écrire y en fonction de x. L’objectif ne dépend alors que de x.
Exemple : un rectangle de périmètre 20 m vérifie 2x + 2y = 20, donc y = 10 − x et A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Faites d’abord un croquis et notez-y chaque longueur. La plupart des erreurs viennent de la contrainte.
Auto-évaluation Un champ au bord d’une rivière est clôturé sur trois côtés avec 40 m : deux côtés de longueur x et un côté y parallèle à la rivière. Quelle est la contrainte ?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Réponse: 2x + y = 40. Il y a trois clôtures : x, x et y. Le côté de la rivière n’a pas besoin de clôture. 2x + 2y correspondrait à un rectangle complet dont les quatre côtés sont clôturés.
3Problèmes de coût et de profit
Dans les problèmes de gestion, l’objectif est le profit : la recette moins le coût.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Ici q est le nombre d’unités vendues et p le prix unitaire. Si le prix dépend de q, remplacez d’abord cette formule dans R.
Exemple : le prix est p = 60 − q et le coût est C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Le meilleur prix est alors p = 60 − 15 = 45 €. Lisez attentivement la question : elle peut demander q, p ou le profit P lui-même.
Auto-évaluation Un produit se vend 40 € l’unité. Le coût de q unités est C = 100 + 10q + 0,5q² euros. Quelle production q donne le profit le plus élevé ?
15
30
40
60
Réponse: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², donc P′ = 30 − q = 0 et q = 30. Oublier le 2 en dérivant 0,5q² donne 60.
4La méthode pas à pas
Faites un croquis et nommez les variables.
Écrivez l’objectif Q (aire, coût, profit) et la contrainte.
Utilisez la contrainte pour écrire Q comme fonction d’une seule variable, Q(x).
Dérivez et résolvez Q′(x) = 0.
Vérifiez que c’est le bon type de point : Q″ < 0 pour un maximum, Q″ > 0 pour un minimum.
Répondez à la question posée : x, l’autre côté, ou la meilleure valeur de Q elle-même, avec les unités.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Un agriculteur dispose de 60 m de clôture pour un champ rectangulaire au bord d’une rivière rectiligne. Aucune clôture n’est nécessaire le long de la rivière. Trouvez le côté y parallèle à la rivière et la plus grande aire A.
1
Croquis et contrainte
La rivière est en haut, donc seuls trois côtés ont besoin de clôture : deux côtés x et un côté y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Aire en une variable
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Annuler la dérivée
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Est-ce un maximum ?
A″(x) = −4 < 0
La dérivée seconde est négative, donc x = 15 m donne la plus grande aire.
5
Autre côté et aire
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Vérifiez la réponse
Essayez une valeur de chaque côté. x = 14 donne 14 · 32 = 448 m², et x = 16 donne 16 · 28 = 448 m². Les deux sont inférieures à 450 m².
Réponse
y = 30 m et la plus grande aire est A = 450 m².
6Erreurs fréquentes
Donner la réponse pour la mauvaise grandeur : la question demande y, et vous donnez x.
Dériver un objectif qui a encore deux variables. Utilisez d’abord la contrainte.
Écrire la mauvaise contrainte, par exemple en clôturant aussi le côté de la rivière.
Ne pas vérifier s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.
Oublier les unités, ou donner une aire en m au lieu de m².
Auto-évaluation Avec 40 m de clôture le long d’une rivière (2x + y = 40), la meilleure largeur est x = 10 m. La question demande le côté y parallèle à la rivière. Que répondez-vous ?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Réponse: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Répondre 10 m donne x au lieu de y, et 200 m² est l’aire, pas un côté.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : aire ou volume maximal, comme un champ au bord d’une rivière ou un enclos divisé par une clôture supplémentaire.
Moyen : coût ou matériau minimal, comme une boîte de conserve fermée (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) ou une clôture avec deux prix au mètre.
Difficile : profit et recette. Construisez P = R − C, résolvez P′(q) = 0, puis trouvez le prix ou le profit maximal.
Une vérification rapide : remplacez Q par une valeur un peu au-dessus et un peu en dessous de votre réponse. Les deux doivent être moins bonnes.
On fabrique une boîte ouverte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm × 18 cm en découpant aux quatre coins des carrés égaux de côté x, puis en relevant les bords. Trouvez le plus grand volume possible V.
18 cm × 18 cm
Calculer V(cm³)
Afficher les indices
Le fond mesure (18 − 2x) sur (18 − 2x) et la hauteur vaut x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Seule une racine vérifiant 0 < x < 9 a un sens.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
Volume en fonction de x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Annuler la dérivée
La plus grande racine donne un côté du fond ≤ 0 ; elle est donc hors de l’intervalle autorisé.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 ou x = 9
x = 3 cm
Volume
V = 3·12·12 = 432 cm³
Réponse
V = 432 cm³
Exemple 2Moyen
Une boîte de conserve cylindrique fermée (avec un couvercle et un fond) doit contenir 400 cm³. La quantité de métal utilisée est proportionnelle à l’aire totale. Trouvez la plus petite aire possible A.
V = 400 cm³
Calculer A(cm²)
Afficher les indices
Utilisez le volume pour éliminer h : πr²h = 400, donc h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
Aire en fonction de r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Annuler la dérivée
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, c’est donc un minimum.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Hauteur et aire
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Réponse
A = 300,5 cm²
La boîte fermée la plus économique est aussi haute que large : h = 2r.
Exemple 3Difficile
Un théâtre vend 580 billets par représentation à 10 € l’unité. Une étude de marché montre que chaque hausse de 1 € du prix du billet fait vendre 20 billets de moins (et chaque baisse de 1 €, 20 de plus). Trouvez la recette maximale R par représentation.
580 × €1020 / €1
Calculer R(€)
Afficher les indices
Billets vendus au prix p : n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
R′(p) = 780 − 40p = 0.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
Recette en fonction du prix
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Annuler la dérivée
R″(p) = −40 < 0, c’est donc un maximum.
p = 780/40 = €19,5
Recette maximale
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Réponse
R = €7605
Questions et réponses
Optimisation : de quoi s’agit-il ?
Optimiser, c’est trouver la meilleure valeur : la plus grande aire pour une longueur de clôture donnée, le moins de métal pour une boîte de conserve, ou le profit le plus élevé.
La grandeur que l’on veut rendre la plus grande ou la plus petite possible dépend d’une variable, par exemple la largeur x d’un champ.
Optimisation : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Optimisation : écrivez la grandeur à optimiser comme une fonction d’une seule variable, en utilisant la contrainte pour éliminer l’autre. Annulez la dérivée et résolvez. Vérifiez que le point critique est un maximum ou un minimum (dérivée seconde ou changement de signe de la dérivée première) et qu’il se trouve dans l’intervalle autorisé ; une borne comme une longueur de côté nulle n’est pas la réponse.
Optimisation : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Chaque côté du fond perd un carré à chaque extrémité ; les côtés du fond valent donc a − 2x et b − 2x, pas a − x et b − x.
La boîte est fermée : comptez à la fois le couvercle et le fond, A = 2πr² + 2πrh.
C’est la recette au prix actuel. Trouvez d’abord le prix pour lequel R′(p) = 0.
Optimisation : que couvrent les exercices ?
Facile: aire ou volume maximal
Moyen: coût ou matière minimal
Difficile: bénéfice et recette
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.