Méthodes numériques : exercices corrigés pas à pas
Aussi appelé : analyse numérique · méthode de Newton · méthode de Simpson · méthode d’Euler
Exercices gratuits sur Méthodes numériques avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : racines et interpolation, méthodes des trapèzes et de Simpson, Euler, Heun et Runge–Kutta.
Exercice gratuitFacile
Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = e−x − x avec la valeur de départ x₀ = 0. Trouvez x2.
Comment résoudre les exercices de Méthodes numériques
Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Erreurs fréquentes
Garder la mauvaise moitié de l’intervalle de dichotomie, ou se tromper dans le décompte des étapes.
Écrire x − f′/f au lieu de x − f/f′ dans Newton–Raphson.
Donner le poids 1 aux nœuds intérieurs dans la méthode des trapèzes, ou utiliser Simpson avec un nombre impair de bandes.
Arrondir trop tôt les itérés.
Faire un pas d’Euler de trop ou de moins pour atteindre l’instant final.
Formules clés
Dichotomie
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
1Pourquoi des méthodes numériques, et la dichotomie
De nombreuses équations et intégrales n’ont pas de formule pour leur réponse : x = cos x, ∫e−x²dx, ou la plupart des équations différentielles. Les méthodes numériques calculent la réponse pas à pas avec la précision que vous voulez.
La méthode de dichotomie trouve une racine de f(x) = 0 sur un intervalle [a, b] où f change de signe. Prenez le milieu c = (a + b)/2 et gardez la moitié où le signe change encore.
Exemple : f(x) = x² − 2 sur [1, 2]. c₁ = 1,5 donne f = 0,25 > 0, donc garde [1 ; 1,5]. c₂ = 1,25 donne f = −0,4375 < 0, donc garde [1,25 ; 1,5]. Ensuite c₃ = 1,375.
Chaque étape divise l’intervalle par deux, donc après n étapes sa largeur est (b − a)/2ⁿ. La dichotomie est lente mais elle fonctionne toujours dès qu’on a un changement de signe.
Auto-évaluation La dichotomie part d’un intervalle de longueur 1. Quelle est la largeur de l’intervalle après 10 étapes ?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Réponse: 1/1024. Chaque étape le divise par deux : 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Diviser par 10 ou 20 traite la bissection comme si elle était additive.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson suit la tangente jusqu’à l’axe des x et utilise cette intersection comme estimation suivante :
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Pour f(x) = x² − 2 avec f′(x) = 2x et x₀ = 2 : x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. La racine est √2 = 1,414214.
Près de la racine, Newton double à peu près le nombre de chiffres exacts à chaque étape. Il peut échouer quand f′(xₙ) est proche de 0, ou quand le départ est loin de la racine.
Gardez au moins six chiffres dans chaque itéré ; arrondir trop tôt empêche la méthode de s’améliorer.
Auto-évaluation Une étape de Newton pour f(x) = x² − 5 à partir de x₀ = 2 donne…
1,75
2,25
2,2
2,5
Réponse: 2,25. f(2) = −1 et f′(2) = 4, donc x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Ajouter −1/4 au lieu de le soustraire donne 1,75.
3Interpolation linéaire
Les tableaux ne donnent des valeurs qu’en certains points. L’interpolation linéaire trace une droite entre les deux points voisins du tableau :
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Exemple : le tableau donne f(1) = 2,0 et f(2) = 2,6. En x = 1,4, la fraction est 0,4, donc f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
L’interpolation inverse fonctionne de la même façon dans l’autre sens : pour trouver où y = 2,3, la fraction est (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, donc x ≈ 1,5.
4Méthode des trapèzes et méthode de Simpson
Pour intégrer f de a à b, découpez l’intervalle en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀, x₁, …, xₙ.
La méthode des trapèzes remplace la courbe de chaque bande par une droite. Chaque nœud intérieur appartient à deux bandes, donc il compte deux fois :
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
La méthode de Simpson ajuste des paraboles sur trois nœuds à la fois. Elle exige un n pair :
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Pour ∫01 x² dx = 1/3 avec n = 2 (h = 0,5) : T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, alors que S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, exact.
L’erreur des trapèzes décroît comme h² et celle de Simpson comme h⁴ : diviser h par deux rend Simpson environ 16 fois plus précise.
Auto-évaluation Quels poids la méthode des trapèzes donne-t-elle aux nœuds x₀, x₁, x₂, x₃ ?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Réponse: 1, 2, 2, 1. Les deux extrémités appartiennent à une seule bande et les points intérieurs à deux, donc 1, 2, 2, 1 avec le facteur h/2. Les 4 appartiennent à la méthode de Simpson.
5Euler et Heun pour les équations différentielles
Pour y′ = f(t, y) avec y(t₀) = y₀, avance dans le temps avec un pas h. La méthode d’Euler utilise la pente au début de chaque pas :
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
La méthode de Heun (Euler amélioré) prédit avec Euler, puis moyenne les pentes aux deux extrémités : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
L’erreur d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h². La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) utilise quatre pentes et est précise à h⁴.
Exemple détaillé
Résolvez y′ = y, y(0) = 1 par la méthode d’Euler avec h = 0,1 jusqu’à t = 0,3, et comparez avec la solution exacte eᵗ.
1
Pas 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Pas 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Pas 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
Comparer
La valeur exacte est e0,3 = 1,349859, donc l’erreur globale est 0,0189. Un pas de Heun depuis y₀ donnerait 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 contre e0,1 = 1,105171.
Réponse
y(0,3) ≈ 1,331 avec Euler ; l’erreur 0,019 diminue à peu près proportionnellement à h.
6Erreurs fréquentes et questions d’examen
Compter le premier milieu de dichotomie comme l’étape 0, ou garder la mauvaise moitié de l’intervalle.
Écrire x − f′/f au lieu de x − f/f′ dans la méthode de Newton.
Oublier le facteur 2 sur les nœuds intérieurs, ou utiliser h au lieu de h/2 dans la méthode des trapèzes.
Utiliser la méthode de Simpson avec un nombre impair de bandes.
Dans la méthode d’Euler, utiliser la pente à la fin du pas, ou faire un pas de moins.
Facile : dichotomie, itérations de Newton et interpolation dans un tableau. Moyen : méthodes des trapèzes et de Simpson, leur erreur et le nombre de bandes nécessaire. Difficile : pas d’Euler, de Heun et de Runge–Kutta pour des équations différentielles.
Auto-évaluation y′ = 2y avec y(0) = 1. Que donne un pas d’Euler avec h = 0,2 ?
1,2
1,49
1,4
2,4
Réponse: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Oublier le facteur 2 dans la pente donne 1,2 ; 1,49 est la valeur exacte e0,4.
La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?
b − a = 4ε = 0,0001
Calculer n
Afficher les indices
Après n étapes, l’intervalle a pour longueur (b − a)/2ⁿ.
Résolvez 4/2ⁿ < 0,0001, donc 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Recherche de racines et interpolation : la dichotomie garde un intervalle [a, b] sur lequel f change de signe ; à chaque étape, on prend le milieu c = (a + b)/2 et on garde la moitié où le signe change encore, donc après n étapes l’intervalle a pour largeur (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson suit la tangente jusqu’à l’axe : xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn) ; près d’une racine simple, il double à peu près le nombre de chiffres exacts à chaque étape. Interpolation linéaire entre deux points d’une table : y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Condition
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logarithme
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Vérification
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Réponse
n = 16
Exemple 2Moyen
Approchez ∫01,5 √(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 3 bandes. Donnez T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Calculer T
Afficher les indices
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5 ; les nœuds sont 0, 0,5, 1, 1,5.
Poids : 1, 2, 2, …, 2, 1 ; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
La somme pondérée est Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.
Exemple 3Difficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,2 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,4).
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0,5h = 0,2
Calculer y2
Afficher les indices
À chaque pas : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Pas 1 : k₁ = 1, k₂ = 1,139543, y₁ = 0,713954.
Il faut 2 pas pour atteindre t = 0,4.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
De nombreuses équations et intégrales n’ont pas de formule pour leur réponse : x = cos x, ∫e−x²dx, ou la plupart des équations différentielles. Les méthodes numériques calculent la réponse pas à pas avec la précision que vous voulez.
La méthode de dichotomie trouve une racine de f(x) = 0 sur un intervalle [a, b] où f change de signe. Prenez le milieu c = (a + b)/2 et gardez la moitié où le signe change encore.
Méthodes numériques : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Méthodes numériques : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Garder la mauvaise moitié de l’intervalle de dichotomie, ou se tromper dans le décompte des étapes.
Écrire x − f′/f au lieu de x − f/f′ dans Newton–Raphson.
Donner le poids 1 aux nœuds intérieurs dans la méthode des trapèzes, ou utiliser Simpson avec un nombre impair de bandes.
Arrondir trop tôt les itérés.
Faire un pas d’Euler de trop ou de moins pour atteindre l’instant final.
Méthodes numériques : que couvrent les exercices ?
Facile: racines et interpolation
Moyen: méthodes des trapèzes et de Simpson
Difficile: Euler, Heun et Runge–Kutta
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.