Équations différentielles : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : équations différentielles linéaires

Exercices gratuits sur Équations différentielles avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : croissance et décroissance exponentielles, Loi de refroidissement de Newton, équations linéaires du premier ordre.

Exercice gratuitFacile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4,8y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
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Ce que vous travaillez

  1. Facilecroissance et décroissance exponentielles
  2. MoyenLoi de refroidissement de Newton
  3. Difficileéquations linéaires du premier ordre

Formules clés

Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m

Apprendre Équations différentielles depuis zéro

Avant cela : Dérivées, Intégrales

1Ce qu’est une équation différentielle

Une équation différentielle relie une grandeur à sa propre vitesse de variation. Elle décrit comment quelque chose change, pas ce que c’est.

Les bactéries se divisent, donc une colonie plus grande croît plus vite. Le taux de croissance est proportionnel au nombre de cellules N :

dN/dt = k · N

Ici dN/dt est la dérivée de N par rapport au temps t, et k est la constante de vitesse. Avec k = 0,4 h⁻¹ et N = 1000 cellules, la colonie augmente de 400 cellules par heure à cet instant.

Résoudre l’équation, c’est trouver la fonction N(t) elle-même. Il faut aussi une valeur de départ, comme N(0) = 200. C’est la condition initiale.

Auto-évaluation Une population suit dN/dt = 0,2 · N. À cet instant, N = 500. À quelle vitesse croît-elle ?
  1. 0,2 par heure
  2. 100 par heure
  3. 2500 par heure
  4. 500 par heure

Réponse: 100 par heure. Remplacez par les valeurs dans l’équation : dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Diviser 500 par 0,2 donne 2500, ce qui utilise k à l’envers.

2Croissance et décroissance exponentielles

L’équation dy/dt = k·y a toujours la même solution, une fonction exponentielle :

y(t) = y0 · ekt

Ici y0 est la valeur en t = 0. Un k positif signifie une croissance. Pour une décroissance, l’équation est dy/dt = −k·y et la solution est y = y0e−kt.

La désintégration radioactive est souvent donnée par sa demi-vie t½ : le temps au bout duquel il reste la moitié de la substance. La constante de vitesse s’en déduit :

k = ln 2 / t½

Pour trouver un temps, prenez le logarithme népérien des deux membres :

t = ln(y / y0) / k

Par exemple, 200 cellules croissant avec k = 0,4 h⁻¹ atteignent 1000 cellules après t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

Auto-évaluation Une substance a une demi-vie de 10 jours. Vous partez de 80 mg. Combien en reste-t-il après 20 jours ?
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

Réponse: 20 mg. 20 jours font deux demi-vies : 80 → 40 → 20 mg. 0 mg vient de l’idée que deux moitiés font un tout ; la quantité est divisée par deux à chaque fois.

3Refroidissement et équations linéaires

Loi du refroidissement de Newton : un objet chaud refroidit plus vite quand il est beaucoup plus chaud que la pièce. Avec la température ambiante Ta :

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

L’écart T − Ta décroît de façon exponentielle, donc la température tend vers la température ambiante et ne descend jamais en dessous.

Pour trouver k à partir d’une mesure, remplacez par les valeurs connues et prenez le ln : k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

Une équation linéaire du premier ordre a la forme y′ + p(x)·y = q(x). Multipliez-la par le facteur intégrant μ :

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

Intégrez ensuite les deux membres et divisez par μ. Pour p = 2/x, μ = e2 ln x = x².

Auto-évaluation Du thé à 90 °C est laissé dans une pièce à 20 °C. Vers quelle température tend-il après très longtemps ?
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

Réponse: 20 °C. Le terme (T0 − Ta)e−kt tend vers 0, donc T tend vers Ta = 20 °C. 0 °C serait la réponse si vous oubliiez la température ambiante.

4La méthode pas à pas

  1. Reconnaissez le type : dy/dt = ky (croissance ou décroissance), refroidissement de Newton, ou y′ + p(x)y = q(x).
  2. Écrivez la solution standard pour ce type.
  3. Utilisez les données pour trouver les constantes : y0 à partir du départ, k à partir d’une demi-vie ou d’une seconde mesure.
  4. Répondez à la question : remplacez un temps pour trouver une valeur, ou utilisez ln pour trouver un temps.
  5. Vérifiez les unités de k (h⁻¹, min⁻¹) par rapport aux unités de t.

Pour une équation linéaire : trouvez μ, intégrez (μy)′ = μq, ajoutez la constante C, puis utilisez la condition initiale pour trouver C.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Un traceur radioactif a une demi-vie de 8 jours. Un échantillon contient 60 mg au départ. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle masse m reste-t-il après 12 jours ?

1

Reconnaître le type

C’est une décroissance exponentielle, donc la solution est :

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

Trouver k à partir de la demi-vie

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 jour⁻¹
3

Remplacer le temps

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

Vérifiez la réponse

12 jours font 1,5 demi-vie. Après 8 jours il reste 30 mg et après 16 jours 15 mg, donc 21,2 mg se situe entre les deux, comme prévu.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
Réponse

Il reste m ≈ 21,2 mg après 12 jours.

6Erreurs fréquentes

  • Dans la loi du refroidissement de Newton, oublier de soustraire puis de rajouter la température ambiante Ta.
  • Utiliser un exposant positif pour une décroissance, de sorte que la quantité augmente au lieu de diminuer.
  • Utiliser log10 au lieu du logarithme népérien ln.
  • Mélanger les unités de temps, par exemple k en min⁻¹ avec t en heures.
  • Avec un facteur intégrant, ne multiplier que le membre de gauche par μ.
Auto-évaluation Une pièce à 80 °C refroidit dans une salle à 20 °C. À un certain instant t, e−kt = 0,5. Quelle est alors sa température ?
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

Réponse: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Diviser 80 par deux directement donne 40 °C, ce qui oublie la température ambiante.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : croissance et décroissance exponentielles. Trouvez la quantité après un certain temps, ou le temps pour atteindre une quantité, souvent à partir d’une demi-vie.
  • Moyen : loi du refroidissement de Newton. Utilisez une mesure pour trouver k, puis trouvez une température ou un temps.
  • Difficile : une équation linéaire du premier ordre comme y′ + 2y/x = 3 avec y(1) = 1. Utilisez le facteur intégrant et trouvez y pour un autre x.

Une vérification rapide : les réponses de décroissance et de refroidissement doivent se situer entre la valeur initiale et la valeur finale (0, ou la température ambiante).

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 4y′ + 3y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Calculer r

Afficher les indices
  1. Substituez y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Factorisez ou utilisez la formule du second degré.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.

Équation caractéristique

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Racines

r = −1, r = −3
la plus proche de zéro: r = −1

Réponse

r = −1

La solution générale est y = A·e−1t + B·e−3t.

Exemple 2Moyen
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

Une tasse de café à 81 °C est laissée dans une pièce à 21 °C. Au bout de 5 min, sa température est de 73 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 50 °C ?

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

Calculer t (min)

Afficher les indices
  1. Trouvez d’abord k à partir de la mesure à t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Constante de refroidissement

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

Temps pour atteindre la valeur visée

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

Réponse

t = 25,4 min
Exemple 3Difficile
ty1y(1) = ?

Résolvez y′ + y = 4e−2t avec y(0) = 4. Trouvez y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

Calculer y(1)

Afficher les indices
  1. Le facteur intégrant est μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. Utilisez y(0) pour trouver C.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Facteur intégrant

μ = et
(ety)′ = 4e−t

Solution générale

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

Condition initiale

4 = −4 + C → C = 8

Évaluer

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

Réponse

y(1) = 2,402

Questions et réponses

Équations différentielles : de quoi s’agit-il ?

Une équation différentielle relie une grandeur à sa propre vitesse de variation. Elle décrit comment quelque chose change, pas ce que c’est.

Les bactéries se divisent, donc une colonie plus grande croît plus vite. Le taux de croissance est proportionnel au nombre de cellules N :

Équations différentielles : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.

Équations différentielles : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • C’est l’autre racine, plus éloignée de zéro ; son terme s’éteint plus vite.
  • r² + br + c = 0 avec b et c positifs a des racines négatives.
  • −b/2 est le milieu des racines, et non une racine.
Équations différentielles : que couvrent les exercices ?
  • Facile: croissance et décroissance exponentielles
  • Moyen: Loi de refroidissement de Newton
  • Difficile: équations linéaires du premier ordre

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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