Méthodes numériques : exercices et sujets d’examen

Calculer des réponses sans formule : racines d’équations par dichotomie et Newton–Raphson, interpolation dans des tableaux, intégration numérique par les méthodes des trapèzes et de Simpson, et équations différentielles par Euler, Heun et Runge–Kutta. Les examens demandent quelques itérations dans un tableau et la taille de l’erreur.

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Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

  1. Méthodes numériquesracines et interpolation · méthodes des trapèzes et de Simpson · Euler, Heun et Runge–Kuttacalculs
  2. Suites et sériesséries arithmétiques et géométriques · convergence et séries entières · polynômes de Taylor et de Maclaurincalculs
  3. Matrices et déterminantsdéterminant 2×2 · 3×3 et produits · valeurs propres et systèmescalculs
  4. Équations différentiellescroissance et décroissance exponentielles · Loi de refroidissement de Newton · équations linéaires du premier ordrecalculs

Conseils pour l’examen de Méthodes numériques

  • Gardez au moins six chiffres significatifs dans chaque itéré et n’arrondis que la réponse finale.
  • Écrivez les poids de la méthode d’intégration sous le tableau de valeurs avant de rien additionner.
  • Utilisez les polynômes de Taylor pour expliquer l’erreur : l’erreur d’Euler est proportionnelle à h, celle de Simpson à h⁴.

Exemples corrigés

Méthodes numériquesFacile

La méthode de dichotomie part d’un intervalle de longueur 4. Chaque étape divise l’intervalle par deux. Combien d’étapes n faut-il au minimum avant que l’intervalle soit plus court que 0,0001 ?

b − a = 4ε = 0,0001

Calculer n

Afficher les indices
  1. Après n étapes, l’intervalle a pour longueur (b − a)/2ⁿ.
  2. Résolvez 4/2ⁿ < 0,0001, donc 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Recherche de racines et interpolation : la dichotomie garde un intervalle [a, b] sur lequel f change de signe ; à chaque étape, on prend le milieu c = (a + b)/2 et on garde la moitié où le signe change encore, donc après n étapes l’intervalle a pour largeur (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson suit la tangente jusqu’à l’axe : xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn) ; près d’une racine simple, il double à peu près le nombre de chiffres exacts à chaque étape. Interpolation linéaire entre deux points d’une table : y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Condition

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logarithme

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Vérification

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Réponse

n = 16
Suites et sériesMoyen
kSn​12345678910S = ?

Trouvez la somme S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calculer S

Afficher les indices
  1. Fractions partielles : 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Écrivez les premiers termes : la plupart se simplifient (une somme télescopique).
  3. Ce qui reste est (12/3)·(1 + … + 1/3).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Décomposition en éléments simples

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuler

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Réponse

S = 7,333

Comment fonctionne l’entraînement

  • « S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de déterminant et d’inverse de matriceCalculatrice de valeurs propres et de vecteurs propresCalculatrice de demi-vie et de décroissance exponentielleRésolution de systèmes d’équations linéaires (2×2 et 3×3)

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