Suites et séries : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : séries numériques · séries entières · développement de Taylor

Exercices gratuits sur Suites et séries avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : séries arithmétiques et géométriques, convergence et séries entières, polynômes de Taylor et de Maclaurin.

Exercice gratuitFacile
kak​12345678

Trouvez la somme S8 des 8 premiers termes de la suite géométrique 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Exercice suivant →
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Ce que vous travaillez

  1. Facileséries arithmétiques et géométriques
  2. Moyenconvergence et séries entières
  3. Difficilepolynômes de Taylor et de Maclaurin

Comment résoudre les exercices de Suites et séries

  1. Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
  2. Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
  3. Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
  4. Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser n au lieu de n − 1 dans aₙ = a₁ + (n − 1)d ou a₁rⁿ⁻¹.
  • Utiliser la formule de la somme infinie quand |r| ≥ 1, ou avec le mauvais premier terme.
  • Conclure à la convergence uniquement parce que les termes tendent vers 0.
  • Inverser la limite du test du rapport : R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, et non son inverse.
  • Oublier les factorielles ou les signes alternés dans un polynôme de Taylor.

Formules clés

Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

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Avant cela : Limites, Dérivées

1Suites arithmétiques et géométriques

Une suite est une liste de nombres a₁, a₂, a₃, … et une série est leur somme. Deux types reviennent à chaque examen.

Une suite arithmétique ajoute la même raison d à chaque pas : 3, 7, 11, 15, … a pour raison d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Pour 3, 7, 11, … : a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 et S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Remarquez le n − 1 : du premier au 20e terme, il n’y a que 19 pas.

Une suite géométrique multiplie par la même raison r à chaque pas : 2, 6, 18, … a pour raison r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Auto-évaluation Quel est le 10e terme de 5, 8, 11, 14, … ?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Réponse: 32. d = 3, donc a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Utiliser 10·3 au lieu de 9·3 donne 35.

2Série géométrique infinie

Continuez d’ajouter les termes de 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … et la somme se rapproche de 4 sans jamais le dépasser.

nSₙ4123456789233,5

Quand |r| < 1, le terme rⁿ dans Sₙ tend vers 0, et la somme infinie existe :

S = a₁/(1 − r), uniquement si |r| < 1

Ici a₁ est le premier terme de la somme. Pour Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ le premier terme est 8·(1/2)² = 2, donc S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Quand |r| ≥ 1, les termes ne diminuent pas et la série n’a pas de somme : elle diverge.

Auto-évaluation Que vaut Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Réponse: 4. Le premier terme (k = 0) est 3 et r = 1/4, donc S = 3/(1 − 1/4) = 4. Utiliser 1 + r au dénominateur donne 2,4.

3Une série converge-t-elle ?

La plupart des séries n’ont pas de formule simple pour leur somme, mais on peut quand même décider si la somme est finie. Utilisez les tests dans cet ordre :

  1. Test du terme général : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge. Σ k/(k + 1) diverge parce que ses termes tendent vers 1.
  2. Séries usuelles : Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1 (donc Σ1/k, la série harmonique, diverge). Σrᵏ ne converge que pour |r| < 1.
  3. Comparaison : 1/(k² + 3) est inférieur à 1/k², donc Σ1/(k² + 3) converge aussi.
  4. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak|. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne donne pas de réponse. Utilisez-le pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
  5. Séries alternées : Σ(−1)ᵏ/k converge, parce que les termes alternent de signe et décroissent vers 0.

Exemple : pour Σ k/2ᵏ, le rapport est ((k + 1)/k)·(1/2), qui tend vers L = 1/2 < 1, donc elle converge.

Auto-évaluation Laquelle de ces séries diverge ?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Réponse: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 est une série de Riemann avec p = 1/2 ≤ 1, donc elle diverge. 1/k² a p = 2, (2/3)ᵏ est géométrique avec r < 1, et le test du rapport donne L = 0 pour 3ᵏ/k!.

4Séries entières et rayon de convergence

Une série entière Σ ck(x − x₀)ᵏ est un polynôme sans fin. Elle converge pour x assez proche du centre x₀.

Le test du rapport sur le terme entier donne le rayon de convergence R : la série converge pour |x − x₀| < R et diverge pour |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Exemple : Σ xᵏ/(k·3ᵏ) a ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, qui tend vers 3. Donc R = 3 et la série converge pour −3 < x < 3.

Aux deux extrémités, le test ne donne pas de réponse ; vérifiez-les séparément si la question demande l’intervalle complet.

5polynômes de Taylor et de Maclaurin

Près d’un point a, une fonction régulière ressemble à un polynôme. Le polynôme de Taylor de degré n coïncide avec la valeur et les n premières dérivées en a :

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Pour a = 0, on l’appelle le polynôme de Maclaurin. Apprenez ces séries par cœur :

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Plus vous prenez de termes, plus longtemps le polynôme reste proche de la fonction.

Exemple détaillé

Approchez e0,5 par le polynôme de Maclaurin de degré 3, et majore l’erreur.

1

Écrire le polynôme

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Remplacer x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Majoration de l’erreur de Lagrange

L’erreur est au plus M·|x|⁴/4!, où M est la plus grande valeur de la dérivée 4e eᵗ entre 0 et 0,5 : M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Comparer

La calculatrice donne e0,5 = 1,648721, donc l’erreur réelle est 0,0029, dans la majoration.

Réponse

e0,5 ≈ 1,6458, avec une erreur d’au plus 0,0043.

6Erreurs fréquentes et questions d’examen

  • Utiliser n au lieu de n − 1 pas pour le n-ième terme.
  • Écrire a/(1 − r) avec le mauvais premier terme quand la somme ne commence pas à k = 0.
  • Conclure qu’une série converge parce que ses termes tendent vers 0. Σ1/k est le contre-exemple.
  • Oublier les factorielles dans un polynôme de Taylor, ou les signes moins de sin et cos.
  • Utiliser |x|ⁿ/n! au lieu de |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dans la majoration de l’erreur.

Facile : sommes de suites arithmétiques et géométriques. Moyen : décider de la convergence, test du rapport et rayon de convergence. Difficile : polynômes de Taylor, leurs coefficients et majorations d’erreur.

Auto-évaluation Quel est le coefficient de x³ dans la série de Maclaurin de sin x ?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Réponse: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, et 3! = 6, donc le coefficient est −1/6. Oublier le signe moins donne 1/6.

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
kak​13579111315ε = 0,2

La suite géométrique aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ est décroissante. Trouvez le premier indice n pour lequel aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Calculer n

Afficher les indices
  1. Résolvez 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 avec des logarithmes.
  2. ln 0,85 est négatif : diviser par lui retourne l’inégalité.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Séries arithmétiques et géométriques : une suite arithmétique ajoute la même raison d à chaque pas, aₙ = a₁ + (n − 1)d, et sa somme est Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Une suite géométrique multiplie par la même raison r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, avec Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Quand |r| < 1, les termes décroissent assez vite pour que la somme infinie existe : S = a₁/(1 − r), où a₁ est le premier terme de la somme.

Inégalité

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logarithmes

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Vérification

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Réponse

n = 21
Exemple 2Moyen
kSn​12345678910S = ?

Trouvez la somme S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Calculer S

Afficher les indices
  1. Fractions partielles : 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Écrivez les premiers termes : la plupart se simplifient (une somme télescopique).
  3. Ce qui reste est (12/3)·(1 + … + 1/3).
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Décomposition en éléments simples

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuler

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Réponse

S = 7,333
Exemple 3Difficile

f(x) = cos x est approchée en x = 1 par son polynôme de Maclaurin de degré n. Avec la majoration de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! et M = 1, trouvez le plus petit degré n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Calculer n

Afficher les indices
  1. Essayez n = 1, 2, 3, … et calculez 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! à chaque fois.
  2. La factorielle croît vite, donc quelques étapes suffisent.
  3. Arrêtez-vous au premier n pour lequel la majoration est inférieure à 1 × 10⁻⁶.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

n(n + 1)!majoration011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Majorations pour n croissant

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Plus petit degré

n = 9

Réponse

n = 9

Questions et réponses

Suites et séries : de quoi s’agit-il ?

Une suite est une liste de nombres a₁, a₂, a₃, … et une série est leur somme. Deux types reviennent à chaque examen.

Une suite arithmétique ajoute la même raison d à chaque pas : 3, 7, 11, 15, … a pour raison d = 4.

Suites et séries : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
  2. Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
  3. Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
  4. Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Suites et séries : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utiliser n au lieu de n − 1 dans aₙ = a₁ + (n − 1)d ou a₁rⁿ⁻¹.
  • Utiliser la formule de la somme infinie quand |r| ≥ 1, ou avec le mauvais premier terme.
  • Conclure à la convergence uniquement parce que les termes tendent vers 0.
  • Inverser la limite du test du rapport : R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, et non son inverse.
  • Oublier les factorielles ou les signes alternés dans un polynôme de Taylor.
Suites et séries : que couvrent les exercices ?
  • Facile: séries arithmétiques et géométriques
  • Moyen: convergence et séries entières
  • Difficile: polynômes de Taylor et de Maclaurin

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