Analyse 2 : exercices et sujets d’examen

Le deuxième cours d’analyse : techniques d’intégration, suites et séries avec tests de convergence, séries entières et polynômes de Taylor, et analyse à plusieurs variables avec dérivées partielles, gradients, points critiques et intégrales doubles. Selon le cursus, une partie de cette matière est enseignée en Analyse 3.

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Pack de révision (PDF)Formulaires, étapes de méthode et exercices avec corrigés complets, prêts à imprimer.

Thèmes de ce cours

Conseils pour l’examen de Analyse 2

Avant tout test de convergence, vérifiez que les termes tendent vers 0 ; sinon, la série diverge.
Écrivez le polynôme de Taylor avec les factorielles en place avant de remplacer par un nombre.
Pour une intégrale double, esquissez d’abord la région : l’esquisse donne les bornes de l’intégrale intérieure.

Exemples corrigés

IntégralesFacile

La région sous y = 0,5x de x = 0 à x = 3 tourne autour de l’axe des x. Trouvez le volume V du solide (un cône).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Calculer V

Afficher les indices

Une tranche en x est un disque de rayon y = 0,5x.
V = π∫₀³ (0,5x)² dx.
= π·0,25·x³/3.

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Volumes de révolution : la rotation autour de l’axe des x de la région sous y = f(x), de x = a à x = b, engendre un solide dont la section en x est un disque de rayon f(x). La somme des disques donne V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Lorsque la région est comprise entre une courbe extérieure R(x) et une courbe intérieure r(x), chaque tranche est une rondelle : V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Élevez les rayons au carré avant de les soustraire.

Méthode des disques

V = π∫₀³ 0,25x² dx

Intégrer

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Réponse

V = 7,069

Vérification : un cône de rayon 1,5 et de hauteur 3 a (1/3)πr²h = 7,069.

Suites et sériesMoyen

Trouvez la somme S = Σ_k=1^∞ 12/(k(k + 3)).

a_k = 12/(k(k + 3))

Calculer S

Afficher les indices

Fractions partielles : 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
Écrivez les premiers termes : la plupart se simplifient (une somme télescopique).
Ce qui reste est (12/3)·(1 + … + 1/3).

Afficher la réponse et la solution pas à pas

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |a_k+1/a_k| ; test de la racine : L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σc_k(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |c_k/c_k+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Décomposition en éléments simples

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuler

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Réponse

S = 7,333

Comment fonctionne l’entraînement

« S’entraîner sur ce cours » mélange des exercices de tous ses thèmes, comme un vrai examen.
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Les examens blancs sont chronométrés et sans indices ; vous obtenez votre score et une correction complète à la fin.

Calculatrices pour ce cours

Calculatrice de demi-vie et de décroissance exponentielle Calculatrice d’intégrale (définie et indéfinie)

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