Aussi appelé : test du chi-deux · test du χ² · test du chi carré
Exercices gratuits sur Tests du khi-deux avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : ajustement, test d’indépendance, décision avec la valeur critique.
Exercice gratuitFacile
Un fabricant de bonbons annonce les proportions de couleurs indiquées dans le tableau. Un échantillon aléatoire de 200 bonbons donne les effectifs observés. Calculez la statistique du test d’ajustement du khi-deux χ² pour H₀ : les proportions annoncées sont correctes.
Un test du khi-deux (χ²) compare des effectifs. Il demande si les effectifs observés diffèrent des effectifs attendus de plus que ne le permettrait le hasard.
Exemple : vous lancez un dé 60 fois. S’il est équilibré, chaque face devrait sortir environ 60 · 1/6 = 10 fois. Ce sont les effectifs attendus E.
Vous observez 8, 12, 9, 11, 6 et 14. Ce sont les effectifs observés O. Ils ne valent jamais exactement 10, même pour un dé équilibré. La question est de savoir s’ils s’écartent trop.
Comme dans tout test d’hypothèse, H₀ dit qu’il ne se passe rien de particulier : le dé est équilibré, ou deux variables sont indépendantes.
Auto-évaluation Un dé est lancé 120 fois pour tester s’il est équilibré. Quel est l’effectif attendu pour chaque face ?
1/6
120
20
6
Réponse: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. La probabilité 1/6 n’est pas un effectif ; il faut la multiplier par le nombre de lancers.
2La statistique de test
Pour chaque catégorie, prenez la différence O − E, élevez-la au carré, puis divisez par E. Additionnez ensuite sur toutes les catégories :
χ² = Σ (O − E)² / E
Le carré rend chaque terme positif. La division par E fait qu’un écart de 4 compte davantage lorsque 10 seulement étaient attendus que lorsque 1000 l’étaient.
Les degrés de liberté de ce test d’adéquation sont ddl = k − 1, où k est le nombre de catégories. Six faces donnent ddl = 5.
Un grand χ² signifie que les données s’accordent mal avec H₀. Rejetez H₀ si χ² est supérieur à la valeur critique de la table. Pour α = 0,05 :
ddl 1 : 3,841, ddl 2 : 5,991, ddl 3 : 7,815
ddl 4 : 9,488, ddl 5 : 11,070, ddl 6 : 12,592
Pour le dé, 4,2 est inférieur à 11,070, donc rien ne prouve qu’il soit truqué.
Auto-évaluation Une catégorie a O = 14 et E = 10. Que contribue-t-elle à χ² ?
0,4
1,6
16
4
Réponse: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Oublier le carré donne 0,4, et oublier de diviser par E donne 16.
3Le test d’indépendance
Un tableau de contingence compte les cas selon deux variables à la fois, comme le traitement (lignes) et le résultat (colonnes). H₀ : les deux variables sont indépendantes.
Si elles sont indépendantes, l’effectif attendu dans chaque case se déduit des totaux :
E = total de la ligne × total de la colonne / total général
Ensuite, χ² se calcule avec la même formule qu’avant, sur chaque case du tableau, sans les totaux.
df = (r − 1)(c − 1)
Ici, r est le nombre de lignes et c le nombre de colonnes, sans compter les totaux. Un tableau 2×2 a ddl = 1.
Auto-évaluation Dans un tableau dont le total général est 120, une case a un total de ligne de 40 et un total de colonne de 30. Quel est son effectif attendu ?
10
1200
3
70
Réponse: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 oublie de diviser par le total général.
4La méthode pas à pas
Énoncez H₀ : les proportions annoncées sont correctes (adéquation), ou les variables sont indépendantes.
Calculez chaque effectif attendu : E = n · p, ou total de la ligne × total de la colonne / total général.
Pour chaque case, calculez (O − E)²/E. Additionnez-les toutes pour obtenir χ².
Trouvez ddl : k − 1 pour l’adéquation, (r − 1)(c − 1) pour l’indépendance.
Cherchez la valeur critique correspondant à ce ddl pour α = 0,05.
Rejetez H₀ si χ² est supérieur à la valeur critique. Formulez la conclusion avec des mots.
Vérification : les effectifs attendus de chaque ligne et de chaque colonne ont les mêmes totaux que les effectifs observés.
5Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Dans un essai clinique, 120 patients reçoivent un nouveau médicament (ligne A) et 100 reçoivent un placebo (ligne B). La colonne 1 compte les patients qui se sont améliorés, la colonne 2 ceux qui ne se sont pas améliorés. Testez au seuil α = 0,05 si le résultat est indépendant du traitement.
1
Lire le tableau
Totaux des lignes : 120 et 100. Totaux des colonnes : 110 et 110. Total général : 220.
1,173 est inférieur à 3,841, donc χ² n’est pas dans la région de rejet. On ne rejette pas H₀.
Réponse
χ² ≈ 1,17 < 3,841 : aucune preuve significative que l’amélioration dépend du traitement.
6Erreurs fréquentes
Utiliser des pourcentages ou des proportions au lieu des effectifs. χ² ne fonctionne qu’avec des effectifs.
Diviser par O au lieu de diviser par E.
Inclure la ligne ou la colonne des totaux dans la somme.
Utiliser un mauvais ddl : pour un tableau, c’est (r − 1)(c − 1), et non le nombre de cases moins un.
Rejeter H₀ quand χ² est inférieur à la valeur critique. Seul un grand χ² constitue une preuve contre H₀.
Auto-évaluation Un test d’indépendance utilise un tableau de 3 lignes et 4 colonnes (sans compter les totaux). Combien de degrés de liberté a-t-il ?
11
12
5
6
Réponse: 6. ddl = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 est le nombre de cases moins un, c’est-à-dire la règle de l’adéquation appliquée par erreur à un tableau.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : adéquation. Effectifs des faces d’un dé ou des couleurs de bonbons comparés à des proportions annoncées ; calculez χ².
Moyen : le test d’indépendance. Calculez les effectifs attendus à partir des totaux, puis χ², sans correction de continuité.
Difficile : la décision par la valeur critique. Trouvez ddl et la valeur critique χ²crit pour α = 0,05 dans la table.
Une vérification rapide : χ² n’est jamais négatif, et il vaut 0 seulement si chaque effectif observé est égal à son effectif attendu.
On lance un dé 300 fois pour vérifier s’il est équilibré. Les effectifs de chaque face sont indiqués. Calculez la statistique du test d’ajustement du khi-deux χ² pour H₀ : chaque face a une probabilité de 1/6.
n = 300k = 6
Calculer χ²
Afficher les indices
Effectifs attendus sous H₀ : E = n·p pour chaque catégorie.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Additionnez (O − E)²/E sur toutes les catégories.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 5. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 11,070 ; H₀ est donc non rejetée.
Exemple 2Moyen
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.
N = 1802 × 2
Calculer χ²
Afficher les indices
Effectif attendu de chaque case : E = total de la ligne × total de la colonne / total général.
E = 32, 48 | 40, 60.
Additionnez (O − E)²/E sur les 4 cases.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 1. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 3,841 ; H₀ (indépendance) est donc non rejetée.
Exemple 3Difficile
Un test d’indépendance du khi-deux est effectué sur un tableau de contingence de 2 lignes et 6 colonnes (sans compter les totaux). Combien de degrés de liberté df le test a-t-il ?
2 × 6
Calculer df
Afficher les indices
Les degrés de liberté comptent combien de cases peuvent varier librement une fois les totaux (et les éventuels paramètres estimés) fixés.
Ajustement : k − 1, moins un pour chaque paramètre estimé.
Indépendance : (r − 1)(c − 1).
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
Degrés de liberté
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Réponse
df = 5
Questions et réponses
Tests du khi-deux : de quoi s’agit-il ?
Un test du khi-deux (χ²) compare des effectifs. Il demande si les effectifs observés diffèrent des effectifs attendus de plus que ne le permettrait le hasard.
Exemple : vous lancez un dé 60 fois. S’il est équilibré, chaque face devrait sortir environ 60 · 1/6 = 10 fois. Ce sont les effectifs attendus E.
Tests du khi-deux : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
Tests du khi-deux : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Divisez chaque carré des écarts par l’effectif attendu E, pas par l’effectif observé O.
Divisez chaque carré des écarts par son propre effectif attendu E avant d’additionner, et non le total par n.
Les effectifs attendus proviennent des marges, pas d’une répartition égale du total : E = total de la ligne × total de la colonne / total général.
Tests du khi-deux : que couvrent les exercices ?
Facile: ajustement
Moyen: test d’indépendance
Difficile: décision avec la valeur critique
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.