Matrices et déterminants : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : déterminant · matrice inverse · calcul matriciel

Exercices gratuits sur Matrices et déterminants avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : déterminant 2×2, 3×3 et produits, valeurs propres et systèmes.

Exercice gratuitFacile
A =9−6−8−5

Calcule le déterminant det A de la matrice A représentée.

A = [9 −6; −8 −5]

Réponse exacte : un nombre entier, sans arrondi.

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Ce que vous travaillez

  1. Faciledéterminant 2×2
  2. Moyen3×3 et produits
  3. Difficilevaleurs propres et systèmes

Formules clés

déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)

Apprendre Matrices et déterminants depuis zéro

1Matrices et déterminant 2×2

Une matrice est un tableau de nombres en lignes et en colonnes. Une matrice à 2 lignes et 3 colonnes s’appelle une matrice 2×3 : les lignes d’abord, puis les colonnes.

Les ingénieurs utilisent les matrices pour écrire plusieurs équations à la fois. Le système 2x + y = 5 et x − y = 1 est rangé dans la matrice [2 1; 1 −1] de ses coefficients.

Une matrice carrée possède un nombre particulier, son déterminant, noté det A. Pour une matrice 2×2, c’est le produit d’une diagonale moins le produit de l’autre.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

Pour [3 1; 2 4], le déterminant est 3·4 − 1·2 = 10.

Si det A = 0, la matrice n’a pas d’inverse, et le système d’équations n’a pas de solution unique.

Auto-évaluation Quel est le déterminant de [4 2; 3 5] ? (La ligne 1 est 4 2, la ligne 2 est 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

Réponse: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Additionner les deux produits donne 26, et prendre bc − ad donne −14.

2Déterminants 3×3 et produits

Pour une matrice 3×3, développez selon la première ligne. Chaque coefficient est multiplié par son mineur : le déterminant 2×2 qui reste quand on barre la ligne et la colonne de ce coefficient.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

Les signes sont + − + le long de la première ligne. Cette alternance de signes est ce qu’on oublie le plus facilement.

Un produit matriciel AB se construit avec les lignes de A et les colonnes de B. Le coefficient de la ligne i, colonne j est la ligne i de A fois la colonne j de B : multipliez les paires et additionnez.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

Le produit n’existe que si A a autant de colonnes que B a de lignes. En général, AB n’est pas égal à BA.

Auto-évaluation A = [2 1; 0 3] et B = [1 4; 2 1]. Quel est le coefficient de la ligne 1, colonne 2 de AB ?
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

Réponse: 9. La ligne 1 de A est (2, 1) et la colonne 2 de B est (4, 1) : 2·4 + 1·1 = 9. Multiplier seulement les coefficients correspondants donne 1·4 = 4, et 13 est le coefficient de BA.

3Valeurs propres et systèmes

Une valeur propre λ de A est un nombre pour lequel A·v = λ·v pour un certain vecteur v ≠ 0. La matrice ne fait qu’étirer ce vecteur, elle ne le fait pas tourner.

On trouve les valeurs propres à partir de l’équation caractéristique. Ici I est la matrice identité [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

Pour une matrice 2×2, cela devient une équation du second degré. Son coefficient du milieu est la trace a + d, et son terme constant est det A :

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

Pour [4 1; 2 3] : λ² − 7λ + 10 = 0, donc (λ − 2)(λ − 5) = 0 et les valeurs propres sont 2 et 5.

La règle de Cramer résout un système avec des déterminants. Remplacez la colonne i de A par le second membre pour obtenir Ai, puis xi = det Ai / det A.

Pour 2x + y = 5 et x − y = 1 : det A = −3 et det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, donc x = −6/−3 = 2.

Auto-évaluation Quelle est la plus grande valeur propre de [2 1; 1 2] ?
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Réponse: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 donne (λ − 1)(λ − 3) = 0, donc les valeurs propres sont 1 et 3. 4 est la trace, qui est la somme des valeurs propres, pas l’une d’elles.

4La méthode pas à pas

  1. Recopiez soigneusement la matrice, avec tous les signes moins.
  2. Déterminant 2×2 : ad − bc.
  3. Déterminant 3×3 : pour chaque coefficient de la première ligne, barrez sa ligne et sa colonne et calculez le mineur 2×2.
  4. Combinez avec les signes + − + : a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. Valeurs propres : écrivez λ² − (a + d)λ + det A = 0 et résolvez l’équation du second degré.
  6. Vérification : une ligne de zéros, ou deux lignes égales, donne toujours det A = 0.

Astuce : développez selon une ligne ou une colonne contenant beaucoup de zéros. Chaque coefficient nul vous épargne un mineur.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Trouvez le déterminant de la matrice 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

Premier mineur

210131024A =

Barrez la ligne 1 et la colonne 1 du coefficient 2. Il reste [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

Deuxième mineur

210131024A =

Barrez la ligne 1 et la colonne 2 du coefficient 1. Il reste [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

Troisième mineur

Le coefficient a13 vaut 0, donc son terme vaut 0 quel que soit le mineur. Vous pouvez l’ignorer.

4

Combiner avec + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

Vérifiez la réponse

Pour les matrices 3×3, la règle de Sarrus donne la même valeur : trois produits de diagonales « descendantes » moins trois produits de diagonales « montantes ».

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
Réponse

det A = 16

6Erreurs fréquentes

  • Oublier le signe moins du terme du milieu dans le développement 3×3.
  • Calculer bc − ad au lieu de ad − bc.
  • Perdre un signe moins quand un coefficient est négatif : −2 · −3 vaut +6.
  • Multiplier les matrices coefficient par coefficient au lieu de ligne par colonne.
  • Prendre la trace ou un coefficient diagonal pour une valeur propre au lieu de résoudre l’équation caractéristique.
Auto-évaluation Quel est le déterminant de [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2] ?
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

Réponse: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Utiliser + pour le terme du milieu donne 2 + 12 = 14, l’étourderie la plus courante.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : le déterminant d’une matrice 2×2, souvent avec des coefficients négatifs. Utilisez ad − bc.
  • Moyen : un déterminant 3×3 ou un produit matriciel. Développez selon la première ligne avec + − +.
  • Difficile : valeurs propres d’une matrice 2×2, ou une inconnue d’un système 2×2 avec la règle de Cramer.

Une vérification rapide pour les valeurs propres : leur somme doit valoir la trace a + d et leur produit det A.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
A =1−8−10

Calcule le déterminant det A de la matrice A représentée.

A = [1 −8; −1 0]

Calculer det A

Afficher les indices
  1. Pour une matrice 2×2, det = ad − bc.
  2. a et d sont sur la diagonale principale, b et c sur l'autre diagonale.
  3. ad = 0.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Produits des diagonales

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

Réponse

det A = −8
Exemple 2Moyen
A =−153−5−1−3−513

Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Calculer det A

Afficher les indices
  1. Développe selon la première ligne avec les signes + − +.
  2. Chaque terme est un coefficient multiplié par le déterminant 2×2 qui reste quand on raye sa ligne et sa colonne.
  3. mineurs: 0, −30, −10.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Mineurs 2×2 de la première ligne

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Développement par cofacteurs

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Réponse

det A = 120
Exemple 3Difficile
A =−3−5−2−4b =19

Résous le système −3x − 5y = 1 et −2x − 4y = 9. Trouve x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

Calculer x

Afficher les indices
  1. Règle de Cramer : x = det(Aₓ)/det(A), où Aₓ est A avec la première colonne remplacée par le second membre.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Déterminant de la matrice des coefficients

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

Remplacer la colonne de x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

Réponse

x = 20,5
y = −12,5

Questions et réponses

Matrices et déterminants : de quoi s’agit-il ?

Une matrice est un tableau de nombres en lignes et en colonnes. Une matrice à 2 lignes et 3 colonnes s’appelle une matrice 2×3 : les lignes d’abord, puis les colonnes.

Les ingénieurs utilisent les matrices pour écrire plusieurs équations à la fois. Le système 2x + y = 5 et x − y = 1 est rangé dans la matrice [2 1; 1 −1] de ses coefficients.

Matrices et déterminants : comment résoudre les exercices étape par étape ?

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Matrices et déterminants : que couvrent les exercices ?
  • Facile: déterminant 2×2
  • Moyen: 3×3 et produits
  • Difficile: valeurs propres et systèmes

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Calculatrices

Calculatrice de déterminant et d’inverse de matriceCalculatrice de valeurs propres et de vecteurs propresRésolution de systèmes d’équations linéaires (2×2 et 3×3)

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