Calculatrice de valeurs propres et de vecteurs propres
Saisissez vos valeurs. La réponse et la solution détaillée se mettent à jour pendant la saisie.
Résultat
| Valeur propre | Multiplicité | Vecteur propre | Vecteur propre unitaire |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice 2×2 ou 3×3. La calculatrice développe det(A − λI) en polynôme caractéristique, le résout pour obtenir les valeurs propres réelles ou complexes avec leur multiplicité, et trouve les vecteurs propres de chaque valeur propre réelle en résolvant (A − λI)v = 0. Chaque vecteur propre est vérifié en calculant A·v, et, pour les valeurs propres multiples, la calculatrice indique si la matrice est diagonalisable.
Corrigé pas à pas
Équation caractéristique det(A − λI) = 0
Valeurs propres
Vecteur propre (λ = 5)
Vecteur propre (λ = 3)
Vecteur propre (λ = 2)
Formules clés
- Valeurs propres
- det(A − λI) = 0
Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres
- Soustrayez λ de chaque coefficient diagonal de A pour obtenir A − λI.
- Annulez le déterminant : det(A − λI) = 0. Pour une matrice 2×2, cela donne λ² − (tr A)λ + det A = 0 ; pour une matrice 3×3, c’est une équation du troisième degré.
- Résolvez l’équation caractéristique. Vérification : la somme des valeurs propres est égale à la trace et leur produit au déterminant.
- Pour chaque valeur propre, résolvez (A − λI)v = 0 par réduction de lignes. Les solutions forment une droite (ou un plan) ; tout vecteur non nul qui s’y trouve est un vecteur propre.
- Vérifiez chaque vecteur propre : A·v doit être égal à λ·v.
Questions et réponses
Comment saisir la matrice ?
Tapez les lignes séparées par des points-virgules et les nombres de chaque ligne séparés par des espaces, par exemple 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 pour une matrice 3×3. Les décimaux et les nombres négatifs sont acceptés.
Pourquoi une matrice peut-elle avoir des valeurs propres complexes ?
Le polynôme caractéristique peut avoir des racines complexes, et pour une matrice réelle elles vont toujours par paires conjuguées. La matrice de rotation 0 -1; 1 0 a pour valeurs propres ±i, car aucun vecteur réel ne garde sa direction par une rotation.
Que signifie une valeur propre multiple ?
Une racine du polynôme caractéristique de multiplicité 2 ou 3. La matrice peut quand même avoir autant de vecteurs propres indépendants, comme la matrice identité, ou moins. Avec moins, elle est défective et ne peut pas être diagonalisée.
Le vecteur propre est-il unique ?
Non. Tout multiple non nul d’un vecteur propre est aussi un vecteur propre. La calculatrice affiche une forme simple, avec des nombres entiers si possible, ainsi que le vecteur unitaire de longueur 1.
À quoi servent les valeurs propres ?
Elles donnent les fréquences propres des systèmes vibrants, les contraintes principales d’un tenseur des contraintes, la stabilité des systèmes d’équations différentielles et les directions principales en analyse en composantes principales.
Entraînez-vous
S’entraîner : Matrices et déterminants
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.