Calculatrice de loi de Poisson
Saisissez vos valeurs. La réponse et la solution détaillée se mettent à jour pendant la saisie.
Résultat
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,01832 | 0,01832 |
| 1 | 0,07326 | 0,09158 |
| 2 | 0,1465 | 0,2381 |
| 3 | 0,1954 | 0,4335 |
| 4 | 0,1954 | 0,6288 |
| 5 | 0,1563 | 0,7851 |
| 6 | 0,1042 | 0,8893 |
| 7 | 0,05954 | 0,9489 |
| 8 | 0,02977 | 0,9786 |
| 9 | 0,01323 | 0,9919 |
| 10 | 0,005292 | 0,9972 |
| 11 | 0,001925 | 0,9991 |
| 12 | 0,0006415 | 0,9997 |
Trouvez des probabilités de Poisson pour le nombre d’événements dans un intervalle fixe, comme des appels par heure, des défauts par mètre ou des arrivées par minute. Saisissez le taux moyen λ et un nombre x pour obtenir la probabilité d’exactement x événements, d’au plus x, d’au moins x, de moins de x ou de plus de x. Les étapes montrent la formule e^(−λ)·λˣ/x! pour chaque terme et utilisent le complémentaire quand il est plus court.
Corrigé pas à pas
Formule de la probabilité de Poisson
Utiliser le complémentaire (moins de termes)
Espérance et variance
Formules clés
- Complémentaire
- P(not A) = 1 − P(A)
Comment calculer des probabilités de Poisson
- Trouvez λ, le nombre moyen d’événements dans l’intervalle concerné par la question. Si le taux est de 3 par heure et que la question porte sur 2 heures, prenez λ = 6.
- Pour exactement x événements, utilisez P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
- Pour « au plus x », additionnez les probabilités de 0 à x.
- Pour « au moins x », utilisez le complémentaire P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), car la somme jusqu’à l’infini ne peut pas être écrite explicitement.
- Vérifiez votre réponse avec l’espérance et la variance : toutes deux sont égales à λ.
Questions et réponses
Quand une loi de Poisson s’applique-t-elle ?
Quand les événements surviennent un par un, indépendamment les uns des autres et à un taux moyen constant, et que l’on compte combien tombent dans un intervalle fixe de temps, de longueur, d’aire ou de volume.
Quelles sont l’espérance et la variance d’une loi de Poisson ?
Toutes deux sont égales à λ, donc l’écart type est √λ. Si la variance de vos données est bien supérieure à la moyenne, les événements sont probablement regroupés et le modèle de Poisson s’ajuste mal.
λ peut-il être décimal ?
Oui. λ est une moyenne, donc des valeurs comme 2,5 événements par heure conviennent. Le nombre d’événements x doit être un entier.
Quel est le lien entre la loi de Poisson et la loi binomiale ?
Pour une loi binomiale avec beaucoup d’essais et une faible probabilité de succès, la loi de Poisson de paramètre λ = np donne presque les mêmes probabilités. Une règle empirique courante est n ≥ 20 et p ≤ 0,05.
Pourquoi P(X ≥ 1) est-il égal à 1 − e^(−λ) ?
Le seul moyen d’avoir moins d’un événement est de n’en avoir aucun, et P(X = 0) = e^(−λ). Donc P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), soit 0,8647 pour λ = 2.
Entraînez-vous
S’entraîner : Probabilités
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.