Résolution de systèmes d’équations linéaires (2×2 et 3×3)
Saisissez vos valeurs. La réponse et la solution détaillée se mettent à jour pendant la saisie.
Résultat
Résolvez un système de deux ou trois équations linéaires. Saisissez les équations comme vous les écririez, par exemple 2x + y − z = 8, ou entrez la matrice augmentée. La calculatrice montre chaque opération sur les lignes de l’élimination de Gauss–Jordan, ou les déterminants de la règle de Cramer, travaille avec des fractions exactes et reconnaît les systèmes sans solution ou à une infinité de solutions, qu’elle écrit avec un paramètre.
Corrigé pas à pas
Le système
Matrice augmentée
Poteau 1 (x): pivot en ligne 1
Poteau 2 (y): pivot en ligne 2
Poteau 3 (z): pivot en ligne 3
Lire la solution
Vérifier dans les équations d’origine
Formules clés
- déterminant 2×2
- det = ad − bc
- Inverse d’une matrice 2×2
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Règle de Cramer
- xi = det(Ai)/det(A)
Comment résoudre un système d’équations linéaires par élimination
- Écrivez le système sous forme de matrice augmentée : une ligne par équation, les coefficients de x, y et z, et le second membre après la barre.
- Choisissez un pivot dans la première colonne (un coefficient non nul, idéalement 1) et amenez-le sur la première ligne si nécessaire.
- Divisez la ligne du pivot par le pivot, puis soustrayez-en des multiples des autres lignes pour annuler le reste de la colonne.
- Recommencez pour la colonne suivante et la ligne suivante jusqu’à ce que la partie des coefficients soit sous forme échelonnée réduite.
- Lisez la solution. Une ligne 0 = c avec c ≠ 0 signifie qu’il n’y a pas de solution ; une colonne sans pivot signifie une variable libre et une infinité de solutions.
- Vérifiez en remplaçant la solution dans les équations d’origine.
Questions et réponses
Quand utiliser la règle de Cramer ?
Pour les petits systèmes de déterminant non nul, surtout 2×2. Chaque inconnue est un quotient de déterminants : x = Dx/D. Pour les systèmes plus grands, ou quand D = 0, l’élimination est plus rapide et indique aussi s’il n’y a aucune solution ou une infinité.
Comment savoir si un système n’a pas de solution ?
Quand l’élimination produit une ligne dont tous les coefficients sont nuls mais dont le second membre est non nul, comme 0 = 3. Géométriquement, les droites ou les plans n’ont aucun point commun, par exemple deux droites parallèles.
Que signifie une infinité de solutions ?
Une équation est une combinaison des autres, donc il y a moins d’équations indépendantes que d’inconnues. Les solutions forment une droite ou un plan, écrits avec un paramètre t : par exemple x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Comment saisir les équations ?
Séparez les équations par des points-virgules et écrivez le coefficient avant chaque variable : 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Les fractions comme 1/2x et les décimaux sont acceptés, et une variable peut apparaître des deux côtés.
Qu’est-ce que le rang ?
Le nombre de pivots après élimination, c’est-à-dire le nombre d’équations indépendantes. Un système carré a une solution unique exactement quand le rang est égal au nombre d’inconnues, c’est-à-dire quand le déterminant est non nul.
Entraînez-vous
S’entraîner : Matrices et déterminants
Une calculatrice donne la réponse. À l’examen, il vous faut la méthode : entraînez-vous avec de nouveaux exercices, des indices et des corrigés détaillés.