Tests d'hypothèse et intervalles de confiance : exercices corrigés pas à pas

Aussi appelé : test statistique · test de Student · p-valeur

Exercices gratuits sur Tests d'hypothèse et intervalles de confiance avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : statistique z, statistique t, intervalles de confiance.

Exercice gratuitFacile
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Un fournisseur affirme que la résistance moyenne à la rupture d’un câble vaut 50 kN ; vous soupçonnez qu’elle est plus élevée. L’écart-type est connu et vaut 8 kN. Vous prélevez un échantillon de 25 câbles et testez H₀ : μ = 50 kN contre H₁ : μ > 50 kN au seuil α = 0,05. Au-dessus de quelle moyenne d’échantillon x̄c rejetterez-vous H₀ ?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
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Ce que vous travaillez

  1. Facilestatistique z
  2. Moyenstatistique t
  3. Difficileintervalles de confiance

Comment résoudre les exercices de Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

  1. Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
  2. Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
  3. Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
  4. Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Erreurs fréquentes

  • Utiliser une valeur critique unilatérale pour un test bilatéral.
  • Affirmer que H₀ est démontrée lorsqu’elle n’est pas rejetée.
  • Oublier √n dans l’erreur type.

Formules clés

Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n

Apprendre Tests d'hypothèse et intervalles de confiance depuis zéro

Avant cela : Intervalles de confiance

1L’idée d’un test

Une machine doit remplir des bouteilles de 500 mL en moyenne. Un échantillon de bouteilles a une moyenne de 496 mL. La machine est-elle déréglée, ou est-ce simplement le hasard ?

Un test d’hypothèse répond à cette question avec des nombres. On part de deux affirmations :

  • L’hypothèse nulle H₀ : rien n’a changé. Ici H₀ : μ = 500.
  • L’hypothèse alternative H₁ : ce que vous soupçonnez. Ici H₁ : μ ≠ 500 (bilatérale), ou μ < 500 si vous ne craignez qu’un sous-remplissage (unilatérale).

Vous supposez que H₀ est vraie et vous demandez : à quel point cet échantillon est-il inhabituel ? S’il est très inhabituel, vous rejetez H₀.

Auto-évaluation Un fournisseur affirme que ses résistances valent en moyenne 220 Ω. Vous voulez tester cette affirmation. Quelle est H₀ ?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Réponse: μ = 220 Ω. H₀ est l’affirmation testée, portant sur la moyenne μ de la population. μ ≠ 220 Ω est l’alternative H₁, et une hypothèse ne porte jamais sur la moyenne d’échantillon x̄, que vous connaissez déjà.

2La statistique de test

La statistique de test mesure à quelle distance la moyenne de l’échantillon se trouve de μ₀, la valeur de H₀, en unités d’erreur-type.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Utilisez z quand l’écart-type σ de la population est connu. Quand seul l’écart-type d’échantillon s est connu, utilisez t :

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Une valeur de z ou de t proche de 0 signifie que l’échantillon est compatible avec H₀. Une grande valeur positive ou négative signifie que l’échantillon est loin de μ₀.

Auto-évaluation H₀ : μ = 120, σ = 8, n = 16 et x̄ = 118. Quel est z ?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Réponse: −1. L’erreur-type est 8/√16 = 2, donc z = (118 − 120)/2 = −1. Diviser par σ = 8 au lieu de σ/√n donne −0,25. Le signe est négatif parce que x̄ est inférieur à μ₀.

3Décider : valeurs critiques et valeurs p

Avant de regarder les données, choisissez le niveau de signification α, généralement 0,05. C’est le risque que vous acceptez de rejeter une H₀ vraie.

Pour un test z avec α = 0,05 :

  • Bilatéral (H₁ : μ ≠ μ₀) : rejetez H₀ si |z| > 1,96.
  • Unilatéral (H₁ : μ > μ₀) : rejetez H₀ si z > 1,645. Pour μ < μ₀ : rejetez si z < −1,645.

La valeur p est la probabilité d’obtenir un résultat au moins aussi extrême si H₀ est vraie. Rejetez H₀ quand p < α.

Ne pas rejeter H₀ ne la prouve pas. Cela signifie seulement que les données ne constituent pas une preuve assez forte contre elle.

Un test et un intervalle de confiance concordent : un test bilatéral à 5 % rejette H₀ exactement quand μ₀ se trouve en dehors de l’intervalle à 95 % x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Auto-évaluation Un test z bilatéral avec α = 0,05 donne z = 1,8. Que concluez-vous ?
  1. H₀ est prouvée vraie
  2. On ne rejette pas H₀
  3. On rejette H₀
  4. On rejette H₁ et on accepte H₀ comme prouvée

Réponse: On ne rejette pas H₀. |1,8| est inférieur à 1,96, donc le résultat n’est pas significatif et H₀ n’est pas rejetée. Cela ne prouve pas H₀ ; la preuve n’est simplement pas assez forte.

4La méthode pas à pas

  1. Énoncez H₀ et H₁, et décidez si le test est unilatéral ou bilatéral.
  2. Choisissez z (σ connu) ou t (seul s connu, ddl = n − 1).
  3. Calculez l’erreur-type σ/√n ou s/√n.
  4. Calculez la statistique de test (x̄ − μ₀) / erreur-type.
  5. Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
  6. Formulez la conclusion avec des mots, en fonction de la question.

5Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

Une machine doit remplir des bouteilles de 500 mL en moyenne. σ = 12 mL. Un échantillon de 36 bouteilles a une moyenne de 496 mL. Testez H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ ≠ 500 au seuil α = 0,05.

1

Hypothèses

H₀ : μ = 500 mL. H₁ : μ ≠ 500 mL. Le test est bilatéral, donc les valeurs critiques sont ±1,96.

2

Erreur type

σ est connu, donc on utilise z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Statistique de test

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Comparer

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 est supérieur à 1,96, donc z se trouve dans la région de rejet colorée.

5

Vérifier avec un intervalle

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

La valeur 500 se trouve en dehors de l’intervalle à 95 %, donc l’intervalle conduit à la même décision.

Réponse

z = −2. On rejette H₀ au niveau de 5 % : le remplissage moyen de la machine est différent de 500 mL.

6Erreurs fréquentes

  • Utiliser une valeur critique unilatérale (1,645) pour un test bilatéral, ou l’inverse.
  • Affirmer que H₀ est démontrée lorsqu’elle n’est pas rejetée.
  • Oublier √n dans l’erreur type.
  • Écrire x̄ − μ₀ à l’envers, ce qui inverse le signe de z.
  • Utiliser z quand seul s de l’échantillon est connu pour un petit échantillon.
Auto-évaluation Un test unilatéral avec H₁ : μ > μ₀ et α = 0,05 donne z = 1,8. Que concluez-vous ?
  1. On ne rejette pas H₀, car 1,8 < 1,96
  2. On ne rejette pas H₀, car 1,8 < 2,576
  3. On rejette H₀, car 1,8 > 1,645
  4. On rejette H₀, car z est positif

Réponse: On rejette H₀, car 1,8 > 1,645. Un test unilatéral à 5 % place les 5 % entiers dans une seule queue, donc la valeur critique est 1,645. Comparer avec 1,96 revient à utiliser par erreur la valeur bilatérale.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : la statistique z. σ est connu ; calculez z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Moyen : la statistique t. Seul l’écart-type d’échantillon s est donné ; calculez t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Difficile : intervalles de confiance. Trouvez la borne inférieure ou supérieure de x̄ ± z · σ/√n à 95 % ou 99 %.

Une vérification rapide : si x̄ est inférieur à μ₀, la statistique de test doit être négative.

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Exemples corrigés

Exemple 1Facile
z −1,9601,96

Une machine doit remplir des bouteilles avec 100 mL en moyenne. L'écart-type est connu et vaut 4 mL. Un échantillon de 81 bouteilles a une moyenne de 99,6 mL. Calcule la statistique de test z pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Calculer z

Afficher les indices
  1. L'erreur type de la moyenne est l'écart-type divisé par √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Divise ensuite l'écart x̄ − μ₀ par l'erreur type. Garde le signe.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Statistique de test

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Réponse

z = −0,9

|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

Exemple 2Moyen
t −1,99801,998

Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 504,5 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Calculer t

Afficher les indices
  1. L'erreur type de la moyenne est l'écart-type divisé par √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Divise ensuite l'écart x̄ − μ₀ par l'erreur type. Garde le signe.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistique de test

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Réponse

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

Exemple 3Difficile
z −2,57602,576

Un échantillon de 64 mesures a une moyenne de 80. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Calculer L

Afficher les indices
  1. Intervalle de confiance : x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 pour 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Marge d'erreur

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Borne de l'intervalle

L = 80 − 6,44 = 73,56

Réponse

L = 73,56

Questions et réponses

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance : de quoi s’agit-il ?

Une machine doit remplir des bouteilles de 500 mL en moyenne. Un échantillon de bouteilles a une moyenne de 496 mL. La machine est-elle déréglée, ou est-ce simplement le hasard ?

Un test d’hypothèse répond à cette question avec des nombres. On part de deux affirmations :

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
  2. Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
  3. Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
  4. Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Utiliser une valeur critique unilatérale pour un test bilatéral.
  • Affirmer que H₀ est démontrée lorsqu’elle n’est pas rejetée.
  • Oublier √n dans l’erreur type.
Tests d'hypothèse et intervalles de confiance : que couvrent les exercices ?
  • Facile: statistique z
  • Moyen: statistique t
  • Difficile: intervalles de confiance

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

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  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

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