Fiche d’exercices de Méthodes numériques avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
xyx₀ = 2

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = x³ − x − 3 avec la valeur de départ x₀ = 2. Trouvez x2.

f(x) = x³ − x − 3f′(x) = 3x² − 1x₀ = 2
x2 =
2.Facile
xyx₀ = 4

Appliquez la méthode de Newton–Raphson à f(x) = ln x + x − 4 avec la valeur de départ x₀ = 4. Trouvez x2.

f(x) = ln x + x − 4f′(x) = 1/x + 1x₀ = 4
x2 =
3.Moyen

La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
4.Moyen
xy00,511,52

Approchez ∫02 eˣ dx par la méthode des trapèzes, n = 4, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 4
|E| =
5.Difficile
00,20,40,611,52ty(0, 1)

Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 afin d’estimer y3 ≈ y(0,75).

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0,25
y3 =
6.Difficile
00,10,20,30,411,5ty(0, 1)

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,1 pour y′ = t + y, y(0) = 1 afin d’estimer y4 ≈ y(0,4).

y′ = t + yy(0) = 1h = 0,1
y4 =

Corrigé

  1. 1. x2 = 1,674
  2. 2. x2 = 2,926
  3. 3. n = 151
  4. 4. |E| = 0,1326
  5. 5. y3 = 2,136
  6. 6. y4 = 1,528

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