Aussi appelé : théorème de Millman · méthode des potentiels de nœuds · loi des nœuds
Exercices gratuits sur Méthode des nœuds avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : 1 nœud inconnu, 2 nœuds inconnus, 2 nœuds, 3 sources.
Exercice gratuitFacile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant IR1 dans R1 dans le sens de la flèche.
L’analyse nodale est une méthode standard pour trouver toutes les tensions d’un circuit. Elle fonctionne même quand les règles série et parallèle ne suffisent pas.
Un nœud est un point où se rejoignent deux ou plusieurs parties d’un circuit. Un tronçon entier de simple fil compte pour un seul nœud, car un fil n’a pas de chute de tension.
Vous choisissez un nœud comme référence, aussi appelé masse, et vous lui donnez 0 V. Toutes les autres tensions de nœud sont mesurées par rapport à ce nœud.
Pensez aux altitudes sur une carte, mesurées à partir du niveau de la mer. L’eau coule de haut en bas, et le débit dans un tuyau dépend de la différence d’altitude entre ses extrémités.
Une fois les tensions de nœud connues, la loi d’Ohm donne tous les courants. Les tensions de nœud sont donc les seules inconnues dont vous avez besoin.
Auto-évaluation Quel nœud a une tension de 0 V par définition ?
Le nœud de référence (masse) que vous avez choisi
Le nœud qui a le plus de résistances
Le nœud voisin de la plus grande source
Tout nœud sans source
Réponse: Le nœud de référence (masse) que vous avez choisi. Vous choisissez vous-même le nœud de référence et vous l’appelez 0 V. Toutes les autres tensions de nœud sont mesurées par rapport à lui.
2Loi des nœuds de Kirchhoff
La charge ne peut pas s’accumuler dans un nœud. Donc tout le courant qui entre dans un nœud doit en ressortir. C’est la loi des nœuds de Kirchhoff (KCL).
ΣIin = ΣIout
Par exemple, si 3 A et 2 A entrent dans un nœud, alors 5 A au total doivent en sortir par les autres branches.
Vous écrivez le courant de chaque résistance avec la loi d’Ohm, à partir des tensions à ses deux extrémités :
I = (Va − Vb) / R
C’est le courant de a vers b. Si le résultat est négatif, le courant circule en réalité de b vers a. Ce n’est pas un problème : gardez le signe.
Auto-évaluation Le nœud a est à 9 V et le nœud b à 4 V. Une résistance de 5 Ω les relie. Quel courant circule de a vers b ?
1 A
1,8 A
2,6 A
−1 A
Réponse: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. Additionner les tensions donne 2,6 A, les permuter donne −1 A, et 1,8 A ignore la tension en b.
3La méthode pas à pas
Choisissez le nœud de référence. Le fil du bas est le choix habituel. Marquez-le avec le symbole de masse.
Repérez les nœuds dont vous connaissez déjà la tension. Un nœud relié à la masse par une source de tension est à la tension de cette source.
Nommez tous les autres nœuds (A, B, …). Leurs tensions VA, VB, … sont les inconnues.
À chaque nœud inconnu, écrivez la KCL : les courants qui sortent par les résistances s’additionnent pour égaler le courant injecté par les sources de courant.
Écrivez chaque courant de résistance sous la forme (Vnœud − Vautre extrémité)/R, puis résolvez les équations.
Utilisez la loi d’Ohm pour trouver le courant de branche demandé par la question.
Écrire chaque courant de résistance comme sortant du nœud rend les signes automatiques. Vous n’avez pas à deviner d’abord les sens réels.
Il faut une équation par nœud inconnu. N’écrivez jamais d’équation pour le nœud de référence : sa tension est déjà connue.
4Un exemple détaillé
Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.
Exemple détaillé
Trouvez la tension de nœud VA et le courant IR1 dans R1, de la source vers A.
1
Observez le circuit
Le fil du bas est la masse. Le haut de V1 est à 15 V au-dessus de la masse, donc ce nœud est connu : 15 V.
Seul le nœud A est inconnu, il faut donc une seule équation.
2
Écrire la KCL en A
Deux résistances sortent de A : R1 va vers le nœud à 15 V et R2 va vers la masse. La source de courant injecte 1 A dans A.
(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3
Résoudre pour VA
Multipliez les deux membres par 6 pour supprimer les fractions.
2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4
Trouver le courant dans R₁
IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A
Le résultat est positif, donc 1 A circule bien de la source vers A.
5
Vérifiez la réponse
R2 est parcourue par 12/6 = 2 A vers la masse. Dans A entrent 1 A par R1 et 1 A de la source de courant.
Cela fait 2 A entrants et 2 A sortants, donc la KCL est vérifiée en A.
Réponse
VA = 12 V et IR1 = 1 A.
5Deux nœuds inconnus
Avec deux nœuds inconnus, vous écrivez une équation KCL à chaque nœud et résolvez les deux équations ensemble.
Au nœud A, trois résistances sortent : R1, R2 et R3. Au nœud B, deux résistances sortent et la source de courant injecte 2 A.
A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2
Multipliez la première équation par 6 et la seconde par 3 :
7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6
Additionnez les deux équations. Les termes en VB s’annulent, donc 6·VA = 24.
VA = 4 V, VB = 5 V
Remarquez que R3 apparaît dans les deux équations, sous la forme (VA − VB) en A et (VB − VA) en B. C’est une vérification rapide de vos équations.
6Erreurs fréquentes
Se tromper de signe pour une résistance commune : c’est (VA − VB) en A, mais (VB − VA) en B.
Oublier une source de courant qui entre dans le nœud ou en sort.
Écrire une équation KCL pour le nœud de référence, ou traiter un nœud connu comme inconnu.
Supprimer le signe moins d’un courant négatif. Un résultat négatif signifie que le courant circule à l’opposé de la flèche.
Auto-évaluation Au nœud A, une résistance de 4 Ω va à la masse et une autre résistance de 4 Ω va à un nœud à 12 V. Une source de 2 A injecte du courant dans A. Quelle est la valeur de VA ?
10 V
12 V
2 V
6 V
Réponse: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 donne 2·VA − 12 = 8, donc VA = 10 V. Oublier la source donne 6 V ; la traiter comme sortant de A donne 2 V.
7À quoi ressemblent les questions d’examen
Facile : un nœud inconnu A, avec une source de tension et soit une source de courant, soit une deuxième source de tension. Une seule équation KCL suffit.
Moyen : deux nœuds inconnus A et B, avec une source de courant en B. Écrivez deux équations et résolvez-les ensemble.
Difficile : deux nœuds inconnus et trois sources : deux sources de tension et une source de courant. La méthode est la même, avec plus de termes.
La question demande une tension de nœud, ou le courant dans une résistance dans le sens de la flèche.
Pour un courant de branche, trouvez d’abord les tensions de nœud. Utilisez ensuite I = (Vdépart − Varrivée)/R dans le sens de la flèche.
Seul le nœud A est inconnu. Écrivez une seule loi des nœuds : la somme des courants de branche sortant de A est nulle.
Chaque courant de branche vaut (VA − Vk)/Rk. Regroupez les termes en VA d’un côté.
Σ1/R = 0,9583 S.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Loi des nœuds en A
Prenez le fil du bas comme masse. Chaque branche emporte depuis A un courant (VA − Vk)/Rk, où Vk est la tension de sa source (zéro pour une simple résistance). La somme des courants sortant de A est nulle.
(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0
Trouver VA
VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V
Réponse
VA = 13,04 V
Exemple 2Moyen
La source de tension Vₛ entre A et B a sa borne + en B, donc elle impose VB − VA = Vₛ. Utilisez la méthode des nœuds avec un super-nœud pour trouver le courant Ix dans la source de tension, de A vers B comme l’indique la flèche.
Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω
Calculer Ix(A)
Afficher les indices
Une source de tension entre deux nœuds hors masse fixe leur différence : VB − VA = Vs.
Écrivez une seule loi des nœuds pour le super-nœud englobant A, B et la source : VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
VA = 1 V.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Former un super-nœud
La source de tension entre A et B est parcourue par un courant inconnu, donc on ne peut pas écrire la loi des nœuds séparément en A ou en B. Englobez A, B et la source dans un super-nœud : le courant qui y entre est égal au courant qui en sort.
VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is
Résoudre
VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V
Courant dans la source de tension
Tout ce qui traverse la source de A vers B quitte le nœud B par R₂.
Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A
Réponse
Ix = 1,333 A
Un résultat négatif signifie que le courant réel circule à l’opposé de la flèche.
Exemple 3Difficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver le courant IR4 dans R4 dans le sens de la flèche.
Prenez le fil du bas comme masse (0 V). Les nœuds reliés directement à une source de tension sont déjà connus, donc les inconnues sont VA et VB.
Écrivez la loi des nœuds en A : pour chaque résistance, (VA − Vautre extrémité)/R, et égalez leur somme au courant de source entrant en A.
La résolution donne VA = 2,455 V. Ensuite, IR4 = (potentiel à la queue de la flèche − potentiel à la pointe)/R4.
Afficher la réponse et la solution pas à pas
Méthode des nœuds : choisissez un nœud de référence, nommez les potentiels inconnus, écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu avec la loi d’Ohm (I = ΔV/R), puis résolvez le système obtenu.
Poser les nœuds
La masse est le fil du bas. Les potentiels connus viennent directement des sources (V1 = 6 V, V2 = 9 V). Inconnues : VA, VB.
Loi des nœuds au nœud A
Les courants qui quittent A par les résistances égalent le courant injecté dans A par les sources.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3
Loi des nœuds au nœud B
Les courants qui quittent B par les résistances égalent le courant injecté dans B par les sources.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05
Résoudre
Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V
Réponse
IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A
Questions et réponses
Méthode des nœuds : de quoi s’agit-il ?
L’analyse nodale est une méthode standard pour trouver toutes les tensions d’un circuit. Elle fonctionne même quand les règles série et parallèle ne suffisent pas.
Un nœud est un point où se rejoignent deux ou plusieurs parties d’un circuit. Un tronçon entier de simple fil compte pour un seul nœud, car un fil n’a pas de chute de tension.
Méthode des nœuds : comment résoudre les exercices étape par étape ?
Choisissez un nœud de référence (la masse) et nommez les potentiels des autres nœuds.
Écrivez la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud inconnu : les courants qui sortent par chaque branche égalent les courants qui entrent.
Exprimez chaque courant de branche sous la forme (Va − Vb)/R.
Résolvez le système d’équations, puis trouvez les courants demandés.
Méthode des nœuds : quelles sont les erreurs fréquentes ?
Confondre le signe d’un courant de branche entre les deux équations de nœud.
Écrire une équation pour le nœud de référence.
Oublier une source de courant qui entre dans un nœud ou en sort.
Méthode des nœuds : que couvrent les exercices ?
Facile: 1 nœud inconnu
Moyen: 2 nœuds inconnus
Difficile: 2 nœuds, 3 sources
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Comment fonctionne l’entraînement
Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.