Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines : exercices corrigés pas à pas

Exercices gratuits sur Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec schémas, indices et corrigés complets. De nouvelles valeurs à chaque fois, à trois niveaux : Tableau de Routh et dénombrement des pôles, plage de K pour la stabilité, lieu des racines.

Exercice gratuitFacile
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Réponse exacte : un nombre entier, sans arrondi.

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Ce que vous travaillez

  1. FacileTableau de Routh et dénombrement des pôles
  2. Moyenplage de K pour la stabilité
  3. Difficilelieu des racines

Comment résoudre les exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines

  1. Écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée : le dénominateur de 1 + K·G(s) = 0, développé.
  2. Placez les coefficients en alternance dans les deux premières lignes du tableau de Routh et construisez les lignes restantes.
  3. Comptez les changements de signe dans la première colonne : chacun correspond à un pôle dans le demi-plan droit. Avec K dans le tableau, exigez que tous les éléments de la première colonne restent positifs.
  4. Pour un lieu des racines, repérez les pôles et les zéros, les segments de l’axe réel, les asymptotes issues du centre de gravité et les points de séparation où dK/ds = 0. Utilisez K = 1/|G(s)| pour le gain en un point.

Erreurs fréquentes

  • Conclure qu’un système est stable parce que tous les coefficients sont positifs ; pour un polynôme cubique ou d’ordre supérieur, cela ne suffit pas.
  • Oublier le terme constant du procédé lorsqu’on ajoute K : avec trois pôles hors de l’origine, l’élément s⁰ vaut abc + K.
  • Prendre le milieu de deux pôles comme point de séparation alors qu’un troisième pôle ou un zéro est proche.
  • Utiliser les positions des pôles sans leur signe dans la formule du centre de gravité.

Formules clés

Stabilité
toutes les racines du polynôme caractéristique dans le demi-plan gauche
tableau de Routh, élément s¹ d’un polynôme cubique
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Racines dans le demi-plan droit
nombre de changements de signe dans la première colonne
Polynôme cubique s³ + a₂s² + a₁s + a₀
stable lorsque tous les a > 0 et a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Équation caractéristique
1 + K·G(s) = 0
Asymptotes
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Points de séparation et de jonction
dK/ds = 0
Condition de module
K = 1/|G(s)|
Angle de départ
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Apprendre Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines depuis zéro

Avant cela : Transformées de Laplace, Schémas fonctionnels

1Ce que signifie la stabilité

Un système est stable lorsque toute entrée bornée donne une sortie bornée. Après une perturbation, un système stable se stabilise ; un système instable diverge ou oscille avec une amplitude croissante.

Le comportement est déterminé par les pôles de la boucle fermée : les racines de son polynôme caractéristique. Un pôle en s = p ajoute un terme ept à la réponse.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Un pôle de partie réelle négative (demi-plan gauche) donne un terme qui s’éteint.
  • Un pôle de partie réelle positive (demi-plan droit) donne un terme qui croît sans limite.
  • Le système n’est donc stable que lorsque tous les pôles se trouvent dans le demi-plan gauche.
Auto-évaluation Une boucle fermée a des pôles en −3, −1 + j2, −1 − j2 et +0,5. Est-elle stable ?
  1. Non, car les pôles complexes rendent toujours un système instable
  2. Non, le pôle en +0,5 la rend instable
  3. Oui, car les pôles complexes ont une partie réelle négative
  4. Oui, car trois des quatre pôles sont dans le demi-plan gauche

Réponse: Non, le pôle en +0,5 la rend instable. Un seul pôle dans le demi-plan droit suffit : son terme e0,5t croît. Les pôles complexes du demi-plan gauche ne posent pas de problème ; ils donnent une oscillation amortie.

2Le tableau de Routh

Pour un polynôme cubique ou d’ordre supérieur, il est difficile de trouver les racines à la main. Le critère de Routh–Hurwitz indique combien de racines se trouvent dans le demi-plan droit sans les calculer.

Écrivez les coefficients en alternance dans les deux premières lignes. Pour s³ + a₂s² + a₁s + a₀ :

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Chaque nouvelle ligne se calcule à partir des deux lignes au-dessus. Pour le polynôme cubique, l’élément s¹ est :

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit.

Exemple : s³ + 2s² + 3s + 10. La première colonne est 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Les signes sont +, +, −, + : deux changements, donc deux pôles se trouvent dans le demi-plan droit.

Auto-évaluation Pour s³ + 4s² + 5s + 2, quel est le premier élément de la ligne s¹ ?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Réponse: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Oublier de diviser par 4 donne 18 ; inverser les produits donne −4,5.

3La méthode pas à pas

  1. Écrivez l’équation caractéristique en boucle fermée 1 + K·G(s) = 0 et développez-la en un polynôme.
  2. Remplissez les deux premières lignes du tableau de Routh avec les coefficients.
  3. Construisez les lignes restantes ; gardez K comme symbole s’il apparaît.
  4. Comptez les changements de signe dans la première colonne, ou exigez que chaque élément de la première colonne soit positif pour trouver la plage admissible de K.
  5. Au gain limite, la ligne s¹ est nulle. La ligne s² donne alors l’équation auxiliaire a·s² + b = 0, dont les racines ±jω indiquent la fréquence d’oscillation.

Test rapide pour un polynôme cubique s³ + a₂s² + a₁s + a₀ : il est stable exactement lorsque tous les coefficients sont positifs et que a₂·a₁ > a₀.

4Un exemple détaillé

Suivez chaque étape. Essayez de deviner la suivante avant de l’ouvrir.

Exemple détaillé

La boucle ci-dessous a pour fonction L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). Pour quels gains K la boucle fermée est-elle stable, et à quelle fréquence oscille-t-elle à la limite ?

1

Observez la boucle

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

L’équation caractéristique est 1 + L(s) = 0, donc s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Développez

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Construisez le tableau de Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

L’élément s¹ vaut (6·8 − 1·K)/6.

4

Gardez la première colonne positive

Ligne s⁰ : K > 0. Ligne s¹ : 48 − K > 0, donc K < 48.

5

Fréquence à la limite

Pour K = 48, la ligne s¹ est nulle. La ligne s² donne 6s² + 48 = 0, donc s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Vérifiez la réponse

Pour K = 48, le polynôme est s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Ses racines sont −6 et ±j2,83, comme prévu.

Réponse

La boucle est stable pour 0 < K < 48 ; pour K = 48, elle oscille à ω = 2,83 rad/s.

5Le lieu des racines

Le lieu des racines montre comment les pôles en boucle fermée se déplacent lorsque K passe de 0 à ∞. Il part des pôles en boucle ouverte (×) et aboutit aux zéros en boucle ouverte (○) ou à l’infini.

  • Un point de l’axe réel appartient au lieu lorsque le nombre de pôles et de zéros réels situés à sa droite est impair.
  • Les n − m branches qui partent à l’infini suivent des asymptotes d’angles (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Les asymptotes sont issues du centre de gravité σa = (Σ pôles − Σ zéros)/(n − m).
  • Les branches quittent ou rejoignent l’axe réel là où dK/ds = 0, avec K = −1/G(s) sur l’axe.
  • Le gain en tout point s du lieu est K = 1/|G(s)|, le produit des distances aux pôles divisé par celui des distances aux zéros.

Pour L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)), le centre de gravité est (0 − 2 − 4)/3 = −2, et les asymptotes partent à 60°, 180° et 300°.

ReIm0−2−460°

Le point de séparation entre 0 et −2 découle de dK/ds = 0 : 3s² + 12s + 8 = 0, donc s = −0,845.

Auto-évaluation Pour L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), où les deux branches quittent-elles l’axe réel ?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Réponse: s = −3. Avec deux pôles réels et aucun zéro, K = −(s + 1)(s + 5) est maximal à mi-chemin entre eux : dK/ds = −(2s + 6) = 0 donne s = −3.

6Erreurs fréquentes

  • Déclarer un système stable parce que tous ses coefficients sont positifs. Pour un polynôme cubique ou d’ordre supérieur, il faut aussi le test de Routh.
  • Oublier le terme constant du procédé : pour K/((s + a)(s + b)(s + c)), le coefficient de s⁰ est abc + K, et non K.
  • Prendre le milieu de deux pôles comme point de séparation alors qu’un troisième pôle ou un zéro infléchit le lieu.
  • Omettre les signes dans le centre de gravité : un facteur (s + 4) est un pôle en s = −4.
Auto-évaluation L’équation s³ + s² + 2s + 8 = 0 est-elle une équation caractéristique stable ?
  1. Non : a₂·a₁ = 2 est inférieur à a₀ = 8
  2. Non : un polynôme cubique n’est jamais stable
  3. Oui : les coefficients ne changent pas de signe
  4. Oui : tous les coefficients sont positifs

Réponse: Non : a₂·a₁ = 2 est inférieur à a₀ = 8. L’élément s¹ est (1·2 − 8)/1 = −6, donc la première colonne 1, 1, −6, 8 change deux fois de signe : deux pôles se trouvent dans le demi-plan droit. Des coefficients positifs ne suffisent pas.

7À quoi ressemblent les questions d’examen

  • Facile : le tableau de Routh et le dénombrement des pôles. Vous comptez les pôles du demi-plan droit d’un polynôme cubique ou quartique, trouvez un élément du tableau, trouvez un pôle en boucle fermée pour un procédé du premier ordre, ou le gain qui le place en un point donné.
  • Moyen : la plage de K. Vous trouvez le plus grand gain stable, la fréquence d’oscillation à ce gain, le plus petit gain qui stabilise un procédé instable, ou de combien le gain peut augmenter.
  • Difficile : le lieu des racines. Vous trouvez le centre de gravité des asymptotes, le croisement de l’axe imaginaire, les points de séparation et de jonction, l’angle de départ d’un pôle complexe, ou le gain en un point donné ou pour un coefficient d’amortissement donné.

Pour un gain à un coefficient d’amortissement donné, écrivez le polynôme caractéristique et comparez-le à s² + 2ζωns + ωn².

Apprenez pas à pas dans l’applicationApprenez pas à pas dans l’application

Exemples corrigés

Exemple 1Facile
R(s)+K1s + 10C(s)−

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 1/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Calculer K

Afficher les indices
  1. Le pôle en boucle fermée est la racine de s + 10 + 1K = 0.
  2. Remplacez s par −10,5 dans cette équation.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Critère de Routh–Hurwitz : un système linéaire est stable lorsque toutes les racines de son polynôme caractéristique se trouvent dans le demi-plan gauche du plan s. On écrit les coefficients en alternance dans les deux premières lignes du tableau de Routh. Chaque élément d’une nouvelle ligne se calcule à partir des deux lignes au-dessus ; pour un polynôme cubique a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀, l’élément de la ligne s¹ est b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit. Avec un gain K dans les coefficients, chaque élément de la première colonne doit rester positif : le gain qui annule l’élément de la ligne s¹ est la limite de stabilité, et la ligne s² donne alors la fréquence de l’oscillation entretenue.

Équation caractéristique

s + 10 + 1K = 0

Gain requis

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Réponse

K = 0,5
Exemple 2Moyen
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Le procédé G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain Kmin qui rend la boucle fermée stable.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Calculer Kmin

Afficher les indices
  1. Le polynôme caractéristique est (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Un polynôme du second degré est stable lorsque ses deux coefficients sont positifs.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Critère de Routh–Hurwitz : un système linéaire est stable lorsque toutes les racines de son polynôme caractéristique se trouvent dans le demi-plan gauche du plan s. On écrit les coefficients en alternance dans les deux premières lignes du tableau de Routh. Chaque élément d’une nouvelle ligne se calcule à partir des deux lignes au-dessus ; pour un polynôme cubique a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀, l’élément de la ligne s¹ est b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines dans le demi-plan droit. Avec un gain K dans les coefficients, chaque élément de la première colonne doit rester positif : le gain qui annule l’élément de la ligne s¹ est la limite de stabilité, et la ligne s² donne alors la fréquence de l’oscillation entretenue.

Polynôme caractéristique

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Conditions

Pour s² + c₁s + c₀, toutes les racines se trouvent dans le demi-plan gauche exactement lorsque c₁ > 0 et c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Réponse

Kmin = 3
Exemple 3Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −4. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Calculer sb

Afficher les indices
  1. Sur l’axe réel, K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Posez dK/ds = 0 : 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Prenez la racine comprise entre 0 et −4.
Afficher la réponse et la solution pas à pas

Lieu des racines : lorsque le gain K passe de 0 à ∞, les pôles en boucle fermée, c’est-à-dire les racines de 1 + K·G(s) = 0, se déplacent des pôles en boucle ouverte vers les zéros en boucle ouverte ou vers l’infini. Un point de l’axe réel appartient au lieu lorsque le nombre de pôles et de zéros réels situés à sa droite est impair. Les n − m branches qui partent à l’infini suivent des asymptotes d’angles (2q + 1)·180°/(n − m), issues du centre de gravité σₐ = (Σ pôles − Σ zéros)/(n − m). Les branches quittent ou rejoignent l’axe réel là où dK/ds = 0. La condition d’angle ∠G(s) = 180° fixe la forme du lieu, et la condition de module K = 1/|G(s)| donne le gain en tout point du lieu.

Gain le long de l’axe réel

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Points stationnaires

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Choisissez le point du lieu

Le lieu se trouve sur l’axe réel entre 0 et −4 ; l’autre racine n’appartient pas au lieu.

sb = −1,761

Réponse

sb = −1,761

Questions et réponses

Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines : de quoi s’agit-il ?

Un système est stable lorsque toute entrée bornée donne une sortie bornée. Après une perturbation, un système stable se stabilise ; un système instable diverge ou oscille avec une amplitude croissante.

Le comportement est déterminé par les pôles de la boucle fermée : les racines de son polynôme caractéristique. Un pôle en s = p ajoute un terme ept à la réponse.

Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines : comment résoudre les exercices étape par étape ?
  1. Écrivez le polynôme caractéristique en boucle fermée : le dénominateur de 1 + K·G(s) = 0, développé.
  2. Placez les coefficients en alternance dans les deux premières lignes du tableau de Routh et construisez les lignes restantes.
  3. Comptez les changements de signe dans la première colonne : chacun correspond à un pôle dans le demi-plan droit. Avec K dans le tableau, exigez que tous les éléments de la première colonne restent positifs.
  4. Pour un lieu des racines, repérez les pôles et les zéros, les segments de l’axe réel, les asymptotes issues du centre de gravité et les points de séparation où dK/ds = 0. Utilisez K = 1/|G(s)| pour le gain en un point.
Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines : quelles sont les erreurs fréquentes ?
  • Conclure qu’un système est stable parce que tous les coefficients sont positifs ; pour un polynôme cubique ou d’ordre supérieur, cela ne suffit pas.
  • Oublier le terme constant du procédé lorsqu’on ajoute K : avec trois pôles hors de l’origine, l’élément s⁰ vaut abc + K.
  • Prendre le milieu de deux pôles comme point de séparation alors qu’un troisième pôle ou un zéro est proche.
  • Utiliser les positions des pôles sans leur signe dans la formule du centre de gravité.
Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines : que couvrent les exercices ?
  • Facile: Tableau de Routh et dénombrement des pôles
  • Moyen: plage de K pour la stabilité
  • Difficile: lieu des racines

Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse. Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.

Comment fonctionne l’entraînement

  • Chaque exercice a de nouvelles valeurs : vous apprenez la méthode, pas une réponse.
  • Bloqué ? Ouvrez d’abord un petit indice, et l’explication complète seulement si vous en avez besoin.
  • Votre progression, vos erreurs et vos exercices enregistrés sont conservés pour que vous puissiez réviser avant l’examen.

Thèmes avant et après celui-ci

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Transformées de LaplaceSchémas fonctionnels

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Calculatrice du critère de stabilité de Routh–Hurwitz

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