Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 2s³ + s² + 13s + 17. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 3s + 18 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Le procédé G(s) = (s + 10)/((s − 3)(s + 5)) a un pôle instable en s = 3. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 8)/(s(s + 4)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −4, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 4)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.