Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
R(s)+K = 15s + 1C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 1 commande le procédé G(s) = 5/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 5/(s + 1)K = 1
p =
2.Facile
R(s)+K5s + 4C(s)−

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 5/(s + 4) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −6,5.

G(s) = 5/(s + 4)p = −6,5
K =
3.Moyen
R(s)+Ks + 7s(s + 2)(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 7)/(s(s + 2)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 7)/(s(s + 2)(s + 4))
Kmax =
4.Moyen
R(s)+K1(s + 1)(s + 2)(s + 6)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 6)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 6))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−71j1j2−0,5

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −0,5.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6))s = −0,5
K =
6.Difficile
ReImζ = 0,5−2−4j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,5.

L(s) = K/(s(s + 4))ζ = 0,5
K =

Corrigé

  1. 1. p = −6
  2. 2. K = 0,5
  3. 3. Kmax = 48
  4. 4. Kmax = 168
  5. 5. K = 4,125
  6. 6. K = 16

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